八年级数学上13.4课题学习最短路径问题学案新版新人教版

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课题:13.4 课题学习:最短路径问题
【学习目标】
1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。
2、能将实际问题中的“地点”“河” “桥”等抽象为数学中的“点”“线”,使实际问题数学化。
3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题,体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。
4、在探索最短路径的过程中,感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理,更进一步体会到数学知识在生活中的应用。
【学习重难 点】
重点: 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题。
难点: 如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。
一、知识链接
复习旧知:1.两点之间,_______最短。
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。
3. 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。类似的,轴对 称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的_______ 。
4.平移性质:(1)平 移前后图形的形状和大小________。(2)对应点连线 ______________。
自主学习(新知): 精读课本第85-87页,用红色的笔对有关概念 进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题,准备在课堂上讨论质疑。
如图所示,从A地到B地有三条路选择,你会选走那条路最近?你的理由是什么?

二、合作与探究
探究活动(一)将军饮马问题:1、两点在一条直线的异侧:
已知如图,A、B在直线L的两侧,在直线L上求一点P,使得这个点到AB的距离最短,即AP+P B最短。请说明AP+PB最短的理由。

2、两点在一条直线的同侧
如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

探究活动(二)造桥选址问题:
如图,A和B两地在一条河的两岸, 现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直。)

三、巩固练习
基础练习:
如图,MNPQ是一张台球桌子,桌上球A与球B之间有其他球阻隔,现在要打A球,经桌边MN、NP两次反弹再碰到B球,请你画出A球的行走路线。

拓展提升:
1、牧马人从A地出发,先到草地MN某一处牧马,再到河边L饮马,然后回到B处,请画出最短路径。
2、如图,点C为∠AOB内一点.
(1)在OA求作点D,OB上求作点E,使△CDE的周长最小,请画出图形;
(2)在(1)的条件下,若∠AOB=30°,OC=10,求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数.

四、要点归纳:
在解决最短路径问题时,我们常利用 、 等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。
【问题1】作法
图形原理
1

在直线l上
求一点P,使PA+PB值最小.
连AB,与l交点即为P.两点之间线段最短.
PA+PB最小值为 .
2

在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.作B关于l的对称点B'连A B',与l交点即为P.两点之间线段最短.
PA+PB最小值为 .
3将军饮马


在直线 、 上分别求点M、N,使△PMN的周长最小.分别作点P关于两直线的对称点P'和P'',连P'P'',与两直线交点即为M,N.
两点之间线段最短.
PM+MN+PN的最小值为线段 的长.
4造桥选址

直线 ∥ ,在 、 ,上分别求点M、N,使MN⊥ ,且AM+MN+BN的值最小.将点A向下平移MN的长度单位得A',连A'B,交 于点N,过N作NM⊥ 于M.
两点之间线段最短.
AM+MN+BN的最小值为 .

 

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