八年级数学上册第1章分式(湘教版)

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第1章 分式
1.1 分式
第1课时 分式

1.理解分式的定义,能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件,会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)

自学指导:阅读教材P2~3,完成下列问题.
(一)知识探究
1.一般地,如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母),所得商fg叫作分式,其中f是分式的分子,g是分式的分母,g≠0.
2.(1)分式fg存在的条件是g≠0;(2)分式fg不存在的条件是g=0;(3)分式fg的值为0的条件是f=0,g≠0.
(二)自学反馈
1.下列各式中,哪些是分式?
①2b-s;②3 000300-a;③27;④vs;⑤s32;⑥2x2+15;⑦45b+c;⑧-5;⑨3x2-1;⑩x2-xy+y22x-1;⑪5x-7.
解:分式有①②④⑦⑩.
 判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.

2.当x取何值时,下列分式的值不存在?当x取何值时,下列分式的值等于0?
(1)3-xx+2;(2)x+53-2x.
解:(1)当x+2=0时,即x=-2时,分式3-xx+2的值不存在.当x=3时,分式3-xx+2的值等于0.
(2)当3-2x=0时,即x=32时,分式x+53-2x的值不存在.当x=-5时,分式x+53-2x的值等于0.
 分母是否为0决定分式的值是否存在.


活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是整式?哪些是分式?
(1)甲每小时做x个零件,他做80个零件需多少小时;
(2)轮船在静水中每小时走a千米,水流的速度是b千米/时,轮船的顺流速度是多少千米/时,轮船的逆流速度是多少千米/时;
(3)x与y的差除以4的商是多少.
解:(1)80x;分式.(2)a+b,a-b;整式.(3)x-y4;整式.
例2 当x取何值时,分式2x-5x2-4的值存在?当x取何值时,分式2x-5x2-4的值为零?
解:当2x-5x2-4的值存在时,x2-4≠0,即x≠±2;
当2x-5x2-4的值为0时,有2x-5=0且x2-4≠0,即x=52.
 分式的值存在的条件:分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件:分式的分母等于0.分式值为0的条件:分式的分子等于0,但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.

活动2 跟踪训练
1.下列各式中,哪些是分式?
①4x;②a4;③1x-y;④3x4;⑤12x2.
解:①③是分式.
2.当x取何值时,分式x2+13x-2的值存在?
解:3x-2≠0,即x≠23时,x2+13x-2存在.
3.求下列条件下分式x-2x+3的值.
(1)x=1;(2)x=-1.
解:(1)当x=1时,x-2x+3=-14.
(2)当x=-1时,x-2x+3=-32.
活动3 课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件,以及分式值为0的条件.

第2课时 分式的基本性质

1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分,并进行简单的求值运算.(重难点)

自学指导:阅读教材P4~6,完成下列问题.
(一)知识探究
1.分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示为fg=(f•h)g•h(h≠0).
2.根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式),叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
(二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1)a2b=ac2bc(c≠0);(2)x3xy=x2y.
解:(1)由c≠0,知a2b=a•c2b•c=ac2bc.
(2)由x≠0,知x3xy=x3÷xxy÷x=x2y.
 应用分式的基本性质时,一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.

2.填空,使等式成立:
(1)34y=3(x+y)4y(x+y)(其中x+y≠0);(2)y+2y2-4=1(y-2).
 在分式有意义的情况下,正确运用分式的基本性质,保证分式的值不变,给分式变形.

3.约分:
(1)a2bcab;(2)-32a3b2c24a2b3d.
解:(1)公因式为ab,所以a2bcab=ac.
(2)公因式为8a2b2,所以-32a3b2c24a2b3d=-4ac3bd.

活动1 小组讨论
例1 约分:
(1)-3a3a4;(2)12a3(y-x)227a(x-y);(3)x2-1x2-2x+1.
解:(1)-3a3a4=-3a.
(2)12a3(y-x)227a(x-y)=4a2(x-y)9.
(3)x2-1x2-2x+1=(x+1)(x-1)(x-1)2=x+1x-1.
 约分的过程中注意完全平方式(a-b)2=(b-a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式,应先分解因式再约分.
例2 先约分,再求值:x2y+xy22xy,其中x=3,y=1.
解:x2y+xy22xy=xy(x+y)2xy=x+y2.
当x=3,y=1时,x+y2=3+12.
活动2 跟踪训练
1.约分:
(1)-15(a+b)2-25(a+b);(2)m2-3m9-m2.
解:(1)-15(a+b)2-25(a+b)=3(a+b)5.
(2)m2-3m9-m2=m(m-3)(3+m)(3-m)=-mm+3.
2.先约分,再求值:
(1)3m+n9m2-n2,其中m=1,n=2;
(2)x2-4y2x2-4xy+4y2,其中x=2,y=4.
解:(1)3m+n9m2-n2=13m-n=13×1-2=1.
(2)x2-4y2x2-4xy+4y2=(x+2y)(x-2y)(x-2y)2=x+2yx-2y=2+2×42-2×4=-53.
活动3 课堂小结
1.分数的基本性质.
2.约分、化简求值.
1.2 分式的乘法和除法
第1课时 分式的乘法和除法

1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)

自学指导:阅读教材P8~9,完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘、除法运算法则:
(1)分式乘分式,把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为fg•uv=fugv.
(2)分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为:如果u≠0,则规定fg÷uv=fg•vu=fvgu.
(二)自学反馈
1.计算xy•y2x的结果是12.
2.化简m-1m÷m-1m2的结果是m.
3.下列计算对吗?若不对,要怎样改正?
(1)ba•ab=1;(2)ba÷a=b;
(3)-x2b•6bx2=3bx;(4)4x3a÷a2x=23.
解:(1)对.(2)错.正确的是ba2.(3)错.正确的是-3x.(4)错.正确的是8x23a2.

活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)4x3y•y2x3;(2)ab22c2÷-3a2b24cd.
解:(1)原式=4x•y3y•2x3=4xy6x3y=23x2.
(2)原式=ab22c2•4cd-3a2b2=-ab2•4cd2c2•3a2b2=-2d3ac.
例2 计算:
(1)a2-4a+4a2-2a+1•a-1a2-4;(2)149-m2÷1m2-7m.
解:(1)原式=(a-2)2(a-1)2•a-1(a+2)(a-2)=(a-2)2(a-1)(a-1)2(a-2)(a+2)=a-2(a-1)(a+2).
(2)原式=149-m2•m2-7m1=1(7+m)(7-m)•m(m-7)1=m(m-7)(7+m)(7-m)=-m7+m.
 整式与分式运算时,可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(1)3a4b•16b9a2;(2)12xy5a÷8x2y;(3)-3xy÷2y23x.
解:(1)原式=3a•16b4b•9a2=43a.
(2)原式=12xy5a•18x2y=12xy5a•8x2y=310ax.
(3)原式=-3xy•3x2y2=-3xy•3x2y2=-9x22y.
 (2)和(3)要把除法转换成乘法运算,然后约分,运算结果要化为最简分式.
2.计算:
(1)x2-4x2-4x+3÷x2+3x+2x2-x;
(2)2x+64-4x+x2÷(x+3)•x2+x-63-x.
解:(1)原式=x2-4x2-4x+3•x2-xx2+3x+2=(x+2)(x-2)(x-3)(x-1)•x(x-1)(x+1)(x+2)=x(x-2)(x-3)(x+1)=x2-2xx2-2x-3.
(2)原式=2x+64-4x+x2•1x+3•x2+x-63-x=2(x+3)(x-2)2•1x+3•(x+3)(x-2)-(x-3)=-2(x+3)(x-2)(x-3).
 分式的乘除要严格按着法则运算,除法必须先换算成乘法,如果分式的分子或分母是多项式,那么就把分子或分母分解因式,然后约分,化成最简分式.运算过程一定要注意符号.
活动3 课堂小结
1.分式的乘、除运算法则.
2.分式的乘、除法法则的运用.

第2课时 分式的乘方

1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)

自学指导:阅读教材P10~11,完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘方法则:分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(fg)n=fngn.(其中n为正整数)
(二)自学反馈
1.计算:
(1)(2ab)2;(2)(-b2a)3.
解:(1)(2ab)2=4a2b2.
(2)(-b2a)3=-b6a3.
2.计算:
(1)(-2ab)2•b36a2;(2)(3a2b)2÷(-b2a)2.
解:(1)原式=4a2b2•b36a2=23b.
(2)原式=9a4b2÷b24a2=9a4b2•4a2b2=36a6.

活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)(n2m)3;(2)(a2b-cd3)3.
解:(1)(n2m)3=n6m3.
(2)(a2b-cd3)3=(a2b)3(-cd3)3=a6b3-c3d9.
 分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方,再根据幂的乘方进行运算.
例2 计算:
(1)m3n2÷(mn)3;(2)(-n2m)2÷(n2m3)3•(2nm)3.
解:(1)m3n2÷(mn)3=m3n2÷m3n3=m3n2•n3m3=n5.
(2)(-n2m)2÷(n2m3)3•(2nm)3=n24m2÷n6m9•8n3m3=n24m2•m9n6•8n3m3=2m4n.
 分式混合运算,要注意:(1)化除法为乘法;(2)分式的乘方;(3)约分化简成最简分式.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(1)2m2n3pq2•5p2q4mn2÷5mnp3q;
(2)16-a2a2+8a+16÷a-42a+8•a-2a+2;
(3)(a-1a+3)2÷(a-1)•9-a2a-1.
解:(1)原式=2m2n3pq2•5p2q4mn2•3q5mnp=12n2.
(2)原式=(4+a)(4-a)(a+4)2•2(a+4)a-4•a-2a+2=-2(a-2)a+2.
(3)原式=(a-1)2(a+3)2•1a-1•(3+a)(3-a)a-1=3-aa+3.
2.计算:
(1)(-2x4y23z)3;(2)(2ab3-c2d)2÷6a4b3•(-3cb2)3.
解:(1)原式=(-2x4y2)3(3z)3=-8x12y627z3.
(2)原式=4a2b6c4d2•b36a4•-27c3b6=-18b3a2cd2.
3.化简求值:b2a2-ab÷(ba-b)2•a2ba-b,其中a=12,b=-3.
解:化简结果是ab;求值结果为-32.
 化简过程中注意“-”.化简中,乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3 课堂小结
1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.

1.3 整数指数幂
1.3.1 同底数幂的除法

1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)

自学指导:阅读教材P14~15,完成下列问题.
(一)知识探究
同底数幂相除,底数不变,指数相减.设a≠0,m,n是正整数,且m>n,则aman=an•(am-n)an=am-n.
(二)自学反馈
1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)
A.a5    B.-a5       C.a8       D.-a8
2.计算:x5÷(-x)2=x3;(ab)5÷(ab)2=a3b3.

活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)(-x)5x3;(2)(xy)8(-xy)5.
解:(1)(-x)5x3=-x5-3=-x2.
(2)(xy)8(-xy)5=x8y8-x5y5=-x3y3.
例2 计算:(x-y)6÷(y-x)3÷(x-y).
解:原式=(x-y)6÷[-(x-y)]3÷(x-y)=-(x-y)6-3-1=-(x-y)2.
活动2 跟踪训练
1.计算:
(1)a5a2;(2)(x2y3)2(-x2y3)2.
解:(1)原式=a3.(2)原式=1.
2.计算:(p-q)4÷(q-p)3•(p-q)2.
解:原式=(p-q)4÷[-(p-q)3]•(p-q)2=-(p-q)•(p-q)2=-(p-q)3.
活动3 课堂小结
同底数幂的除法的运算.

1.3.2 零次幂和负整数指数幂

1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质,并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)

自学指导:阅读教材P16~18,完成下列问题.
(一)知识探究
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1,即a0=1(a≠0).
2.a-n=1an(n是正整数,a≠0).
(二)自学反馈
1.计算:30=1;(-2)-3=-18.
2.用科学记数法表示数0.000 201 6为2.016×10-4.
3.计算:23-(12)0-(12)-2.
解:原式=8-1-4=3.

活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)3-2;(2)(10)-3;(3)(45)-2.
解:(1)3-2=132=19.(2)10-3=1103=0.001.
(3)(45)-2=(54)2=2516.
例2 把下列各式写成分式的形式:
(1)3x-3;(2)2x-23y-3.
解:(1)3x-3=3x3.(2)2x-23y-3=6x2y3.
例3 用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000 326 7;(2)-0.001 1.
解:(1)0.000 326 7=3.267×10-4.(2)-0.001 1=-1.10×10-3.
活动2 跟踪训练
1.计算:(-2)0=1;3-1=13.
2.把(-100)0,(-3)-2,(-13)2按从小到大的顺序排列为(-100)0>(-13)2=(-3)-2.
3.计算:(-1)2 012×(3-π)0+(12)-1.
解:原式=1×1+2=3.
活动3 课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.


1.3.3 整数指数幂的运算法则

1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)

自学指导:阅读教材P19~20,完成下列问题.
(一)知识探究
1.am•an=am+n(a≠0,m,n都是整数).
2.(am)n=amn(a≠0,m,n都是整数).
3.(ab)n=anbn(a≠0,b≠0,m,n都是整数).
(二)自学反馈
计算:
(1)a3•a-5=a-2=1a2;(2)a-3•a-5=a-8=1a8;
(3)a0•a-5=a-5=1a5;(4)am•an=am+n(m,n为任意整数).
 am•an=am+n这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.

活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)(a-1b2)3;(2)a-2b2•(a2b-2)-3.
解:(1)原式=a-3b6=b6a3.
(2)原式=a-2b2•a-6b6=a-8b8=b8a8.
例2 下列等式是否正确?为什么?
(1)am÷an=am•a-n;(2)(ab)n=anb-n.
解:(1)正确.理由:am÷an=am-n=am+(-n)=am•a-n.
(2)正确.理由:(ab)n=anbn=an•1bn=anb-n.
活动2 跟踪训练
1.下列式子中,正确的有(D)
①a2÷a5=a-3=1a3;②a2•a-3=a-1=1a;③(a•b)-3=1(ab)3=1a3b3;④(a3)-2=a-6=1a6.
A.1个       B.2个       C.3个     D.4个
2.计算:[x(x2-4)]-2•(x2-2x)2=1(x+2)2.
活动3 课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.

1.4 分式的加法和减法
第1课时 同分母分式的加减法

1.掌握同分母分式的加、减法则,并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)

自学指导:阅读教材P23~24,完成下列问题.
(一)知识探究
1.同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.即,fg±hg=f±hg.
2.-fg=f-g=-fg,-f-g=fg.
(二)自学反馈
1.计算:yx+2x=y+2x;5y-ay=5-ay.
2.计算:
(1)32-3x-1+3x2-3x;(2)a2a-b-b2-2abb-a.
解:(1)32-3x-1+3x2-3x=3-1-3x2-3x=2-3x2-3x=1.
(2)a2a-b-b2-2abb-a=a2a-b+b2-2aba-b=(a-b)2a-b=a-b.

活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)x-1x+1x;(2)5x+3yx2-y2-2xx2-y2.
解:(1)原式=x-1+1x=xx=1.
(2)原式=5x+3y-2xx2-y2=3x+3y(x+y)(x-y)=3(x+y)(x+y)(x-y)=3x-y.
例2 计算:
(1)mm-1-11-m;(2)5xx2-x-51-x.
解:(1)原式=mm-1+1m-1=m+1m-1.
(2)原式=5xx(x-1)-51-x=5x-1+5x-1=5+5x-1=10x-1.
活动2 跟踪训练
1.化简x2x-1+x1-x的结果是(D)
A.x+1             B.x-1
C.-x          D.x
2.化简a2a-b-b2a-b的结果是(A)
A.a+b          B.a-b
C.a2-b2         D.1
3.计算:(1)x+1x-1x;(2)ab+1+2ab+1-3ab+1.
解:(1)原式=x+1-1x=1.(2)原式=a+2a-3ab+1=0.
 1.在分式有关的运算中,一般总是先把分子、分母分解因式;
2.注意:计算过程中,分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式相加减时,如果分子是一个多项式,要将分子看成一个整体,先用括号括起来,再运算,可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分,化为最简分式(或整式).

第2课时 通分

1.了解什么是最简公分母,会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念,并能将异分母分式通分.(重难点)

自学指导:阅读教材P25~26,完成下列问题.
(一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时,也要先化成同分母分式,然后再加减.
2.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程,叫作分式的通分.
3.通分时,关键是确定公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母称为最简公分母.
(二)自学反馈
1.12x,13y的最简公分母是6xy.
2.对分式y2x,x3y2,14xy通分时,最简公分母是12xy2.
3.通分:
(1)3c2ab2与-a8bc2;(2)x4a(x+2)与x6b(x+2).
解:(1)3c2ab2=3c•4c22ab2•4c2=12c38ab2c2;-a8bc2=-a•ab8bc2•ab=-a2b8ab2c2.
(2)x4a(x+2)=3bx12ab(x+2),y6b(x+2)=2ay12ab(x+2).

活动1 小组讨论
例1 通分:(1)32a2b与a-bab2c;(2)2xx-5与3xx+5.
解:(1)最简公分母是2a2b2c.
32a2b=3•bc2a2b•bc=3bc2a2b2c,
a-bab2c=(a-b)•2aab2c•2a=2a(a-b)2a2b2c.
(2)最简公分母是(x+5)(x-5).
2xx-5=2x(x+5)(x-5)(x+5)=2x2+10xx2-25,
3xx+5=3x(x-5)(x+5)(x-5)=3x2-15xx2-25.
例2 通分:(1)2cbd与3ac4b2;(2)1x2-4与x4-2x.
解:(1)最简公分母是4b2d.
2cbd=8bc4b2d,3ac4b2=3acd4b2d.
(2)最简公分母是2(x+2)(x-2).
1x2-4=1×2(x+2)(x-2)×2=22x2-8,
x4-2x=x-2(x-2)=-x•(x+2)2(x+2)(x-2)=-x2+2x2x2-8.
活动2 跟踪训练
1.分式1x2-4,x2(x-2)的最简公分母为(B)
A.(x+2)(x-2)           B.2(x+2)(x-2)
C.2(x+2)(x-2)2          D.-(x+2)(x-2)2
2.分式1x2-1,x-1x2-x,1x2+2x+1的最简公分母是x(x+1)2(x-1).
3.通分:
(1)x3y与3x2y2;(2)x-y2x+2y与xy(x+y)2;(3)2mn4m2-9与2m-32m+3.
解:(1)x3y=2xy6y2,3x2y2=9x6y2.
(2)x-y2x+2y=x2-y22(x+y)2,xy(x+y)2=2xy2(x+y)2.
(3)2mn4m2-9=2mn4m2-9,2m-32m+3=(2m-3)24m2-9.
活动3 课堂小结
1.确定最简公分母.
2.将异分母分式通分.


第3课时 异分母分式的加减法

1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)

自学指导:阅读教材P27~29,完成下列问题.
(一)知识探究
异分母的分式相加减时,要先通分,即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式,化成同分母分式,然后再加减.
(二)自学反馈
1.化简分式1x+1x(x-1)的结果是(C)
A.x                B.1x2
C.1x-1          D.xx-1
2.下列计算正确的是(D)
A.1x+12x=13x         B.1x-1y=1x-y
C.xx+1+1=1x+1         D.1a-1-1a+1=2a2-1

活动1 小组讨论
例1 计算:
(1)3x+2y;(2)1a+1-1a-1.
解:(1)原式=3yxy+2xxy=3y+2xxy.
(2)原式=a-1(a+1)(a-1)-(a+1)(a+1)(a-1)=-2(a+1)(a-1).
例2 计算:
(1)(1-ba+b)÷aa2-b2;(2)12p+3q+12p-3q.
解:(1)原式=a+b-ba+b•a2-b2a=aa+b•(a+b)(a-b)a=a-b.
(2)原式=2p-3q(2p+3q)(2p-3q)+2p+3q(2p+3q)(2p-3q)=2p-3q+2p+3q(2p+3q)(2p-3q)=4p4p2-9q2.
活动2 跟踪训练
1.计算(a2a-3+93-a)÷a+3a的结果为(A)
A.a          B.-a
C.(a+3)2          D.1
2.化简(1+4a-2)÷aa-2的结果是(A)
A.a+2a         B.aa+2
C.a-2a          D.aa-2
3.化简x2-1x2-2x+1•x-1x2+x+2x的结果是3x.
4.化简(1-1m+1)(m+1)的结果是m.
 1.在分式有关的运算中,一般总是先把分子、分母分解因式;
2.注意:化简过程中,分子、分母一般保持分解因式的形式.

活动3 课堂小结
1.分式加减运算的方法思路:
异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子(整式)相加减
2.分式相加减时,如果分子是一个多项式,要将分子看成一个整体,先用括号括起来,再运算,可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分,化为最简分式(或整式).


1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 可化为一元一次方程的分式方程

1.理解分式方程的意义.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)
3.理解分式方程可能无解的原因,并掌握验根的方法.(重点)

自学指导:阅读教材P32~34,完成下列问题.
(一)知识探究
1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.在检验分式方程的根时,将所求的未知数的值代入最简公分母中,如果它使最简公分母的值不等于0,那么它是原分式方程的一个根;如果它使最简公分母的值为0,那么它不是原分式方程的根,称它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能产生增根,因此解分式方程必须检验.
(二)自学反馈
1.下列方程中,哪些是分式方程?哪些是整式方程?
①x-22=x3;②4x+3y=7;③1x-2=3x;④x(x-1)x=-1;⑤3-xπ=x2;⑥2x+x-15=10;⑦x-1x=2;⑧2x+1x+3x=1.
解:①⑤⑥是整式方程,②③④⑦⑧是分式方程.
 判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.
2.解分式方程的一般步骤是:(1)去分母;(2)解整式方程;(3)验根;(4)小结.

活动1 小组讨论
例1 解方程:2x-3=3x.
解:方程两边同乘x(x-3),得2x=3(x-3).
解得x=9.
检验:当x=9时,x(x-3)≠0.
所以,原分式方程的解为x=9.
例2 解方程:xx-1-1=3(x-1)(x+2).
解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得x=1.
检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0.
所以x=1不是原方程的解.所以,原方程无解.
活动2 跟踪训练
解方程:
(1)12x=2x+3;(2)xx+1=2x3x+3+1;(3)2x-1=4x2-1;(4)5x2+x-1x2-x=0.
解:(1)方程两边同乘2x(x+3),得x+3=4x.化简得3x=3.解得x=1.
检验:当x=1时,2x(x+3)≠0.所以x=1是方程的解.
(2)方程两边同乘3(x+1),得3x=2x+3x+3.解得x=-32.
检验:当x=-32时,3x+3≠0.
所以x=-32是方程的解.
(3)方程两边同乘x2-1,得2(x+1)=4.解得x=1.
检验:当x=1时,x2-1=0,所以x=1不是方程的解.所以原方程无解.
(4)方程两边同乘x(x+1)(x-1),得5(x-1)-(x+1)=0.解得x=32.
检验:当x=32时,x(x+1)(x-1)≠0.
所以x=32是原方程的解.
 方程中分母是多项式,要先分解因式再找公分母.
活动3 课堂小结
解分式方程的思路是:


第2课时 分式方程的应用

能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,并进行方法总结.(重难点)

自学指导:阅读教材P35~36,完成下列问题.
(一)知识探究
列分式方程解应用题的一般步骤是:
(1)审题设未知数;
(2)找等量关系列方程;
(3)去分母,化分式方程为整式方程;
(4)解整式方程.
(5)验根是否符合实际意义;
(6)答题.
(二)自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园,动用了一台甲型挖土机,4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机,两台挖土机一起挖,结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天?
甲型挖土机4天完成了一半,那么甲型挖土机每天挖12÷4=18,如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天,那么一天挖1x;两台挖土机一天共挖18+1x;两台一天完成另一半.所以列方程为18+1x=12;解得x=83,即乙单独挖需83天.
 认真分析题意.根据等量关系列方程.

活动1 小组讨论
例 甲、乙两人分别从相距36千米的A,B两地相向而行,甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人的速度各是多少?

分析:

路程速度时间
甲18+1×2x+0.518+1×2x+0.5

乙18x18x

等量关系:t甲=t乙.
解:设乙的速度为x千米/小时,则甲的速度为(x+0.5)千米/小时.
根据题意,列方程得
18+1×2x+0.5=18x.
解得x=4.5.
检验:当x=4.5时,x(x+0.5)≠0.
所以x=4.5是原方程的解.则x+0.5=5.
答:甲的速度为5千米/小时,乙的速度为4.5千米/小时.
 等量关系是时间相等,那么就要找到相等时间里每个人所走的路程,甲的路程比乙的路程多两个1千米.
活动2 跟踪训练
1.A、B两地相距135千米,有大、小两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5,求两辆汽车的速度.
解:设大汽车的速度为2x千米/小时,则小汽车的速度为5x千米/小时.
根据题意,列方程得135-2x×52x=135-12×5x5x.
解得x=9.
检验:当x=9时,10x≠0.
所以,x=9是原方程的解.
则2x=18,5x=45.
答:大汽车的速度是18千米/小时,小汽车的速度是45千米/小时.
 等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间,等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.
2.一项工程,需要在规定日期内完成,如果甲队独做,恰好如期完成,如果乙队独做,就要超过规定3天,现在由甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,也刚好在规定日期内完成,问规定日期是几天?
解:设规定日期是x天,则甲队独做需x天,乙队独做需(x+3)天,根据题意,列方程得
2x+xx+3=1.解得x=6.
检验:当x=6时,x(x+3)≠0.所以,x=6是原方程的解.
答:规定日期是6天.
活动3 课堂小结
1.列分式方程解应用题,应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设,也可设间接)的前提下找出等量关系.
3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.
4.注意不要遗漏检验和写答案.

 

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