2017年八年级数学上三角形全等之倍长中线讲义随堂测试习题(人教版)

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三角形全等之倍长中线(讲义)
课前预习
1.填空
(1)三角形全等的判定有:
三边分别___________的两个三角形全等,即(____);
两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____);两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____);两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等,即(____);
斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等,即(____).
(2)要证明两条边相等或者两个角相等,可以考虑放在两个三角形中证________;要证明两个三角形全等需要准备______组条件,这三组条件里面必须有______;然后依据判定进行证明,其中AAA,SSA不能证明两个三角形全等,请举出对应的反例.

2.想一想,证一证
已知:如图,AB与CD相交于点O,且O是AB的中点.
(1)当OC=OD时,求证:△AOC≌△BOD;
(2)当AC∥BD时,求证:△AOC≌△BOD.

知识点睛
1.“三角形全等”辅助线:
见中线,要__________,________之后______________.
2.中点的思考方向:
①(类)倍长中线

延长AD到E,使DE=AD, 延长MD到E,使DE=MD,
连接BE 连接CE

②平行夹中点

延长FE交BC的延长线于点G
精讲精练
1.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线.
(1)按要求作图:延长AD到点E,使DE=AD;连接BE.
(2)求证:△ACD≌△EBD.
(3)求证:AB+AC >2AD.
(4)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.

2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
求证:AB=AC.

3.如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AB=AC.
求证:①CE=2CD;②CB平分∠DCE.

4.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.
求证:∠AEF=∠EAF.

5.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.
求证:AD为△ABC的角平分线.

6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长.


7.如图,在正方形ABCD中,CD=BC,∠DCB=90°,点E在CB的延长线上,过点E作EF⊥BE,且EF=BE.连接BF,FD,取FD的中点G,连接EG,CG.
求证:EG=CG且EG⊥CG.


【参考答案】
课前预习
1.(1)相等,SSS;夹角,SAS;夹边,ASA;对边,AAS;
直角,HL
(2)全等,三,边
2.(1)证明:如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD(SAS)
(2)证明:如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
∵AC∥BD
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD(ASA)
精讲精练
1.解:(1)如图,

(2)证明:如图,
∵AD为BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA(SAS)
(3)证明:如图,
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC
∵DE=AD
∴AE=2 AD
在△ABE中,AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
(4)在△ABE中,
ABBE<AE<AB+BE
由(3)得 AE=2AD,BE=AC
∵AC=3,AB=5
∴53<AE<5+3
∴2<2AD<8
∴1<AD<4
2.证明:如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE
在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=EB,∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC

3.证明:如图,延长CD到F,使DF=CD,连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中

∴△BDF≌△ADC(SAS)
∴BF=AC,∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中

∴△CBE≌△CBF(SAS)
∴CE=CF,∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE

4.证明:如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB(SAS)
∴∠1=∠M,AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
5.证明:如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△CFE和△BME中

∴△CFE≌△BME(SAS)
∴CF=BM,∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F,∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD为△ABC的角平分线


6.解:如图,延长AF交BC的延长线于点G
∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中

∴△ADF≌△GCF(AAS)
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EGCG
=52.7
=2.3
7.证明:如图,延长EG交CD的延长线于点M

由题意,∠FEB=90°,∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵点G为FD的中点
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中

∴△FGE≌△DGM(AAS)
∴EF=MD,EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中,BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG,∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG

 

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