2017年八年级数学上全等三角形之辅助线讲义随堂测试习题(人教版)

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全等三角形之辅助线(讲义)
课前预习
1.为了解决几何问题,在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线.辅助线通常画成________.
辅助线的原则:添加辅助线,构造新图形,形成新关系,建立_________和_________之间的桥梁,把问题转化成自己已经会解的情况.
辅助线的作用:
①________________________________________________;
②________________________________________________.
添加辅助线的注意事项:明确目的,多次尝试.

2.要证明边相等(或角相等),可以考虑证明它们所在的三角形_________;要证全等,需要找____组条件.

精讲精练
1.已知:如图,AB=CD,AC与BD交于点O,且AC=BD.
求证:∠ABO=∠DCO.


2.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.
求证:AB=CD且AD=BC.

3.已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,F是CD的中点.
求证:AF⊥CD.


4.已知:在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.


5.已知:如图,在△ABC中,点D,E在AC上,∠ABD=∠CBE,∠A=∠C.求证:BD=BE.


6.已知:如图,在△ABD中,BC⊥AD于点C,E为BC上一点,AE=BD,EC=CD,延长AE交BD于点F.求证:AF⊥BD.


7.已知:如图,BD,CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.判断线段AP和AQ的数量和位置关系,并加以证明.

【参考答案】
课前预习
1.虚线.
已知,未知.
①把分散的条件转为集中;
②把复杂的图形转化为基本图形.
2.全等;3
精讲精练
1.证明:如图,连接AD

在△ABD和△DCA中,

∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ABO=∠DCO(全等三角形对应角相等)
2.证明:如图,连接AC

∵AB∥CD
∴∠CAB=∠ACD
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在△ABC和△CDA中,

∴△ABC≌△CDA(ASA)
∴AB=CD,BC=DA(全等三角形对应边相等)
3.证明:如图,连接AC,AD

在△ABC和△AED中,

∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD(全等三角形对应边相等)
∵F是CD的中点
∴CF=DF
在△ACF和△ADF中,

∴△ACF≌△ADF(SSS)
∴∠CFA=∠DFA(全等三角形对应角相等)
∵∠CFA+∠DFA=180°
∴∠CFA=90°
∴AF⊥CD
4.证明:如图,过点A作AD⊥BC于点D

∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB和△ADC中,

∴△ADB≌△ADC(AAS)
∴AB=AC(全等三角形对应边相等)
5.证明:如图,过点B作BF⊥AC于点F

∵BF⊥AC
∴∠BFA=∠BFC=90°
在△ABF和△CBF中,

∴△ABF≌△CBF(AAS)
∴AB=CB(全等三角形对应边相等)
在△ABD和△CBE中,

∴△ABD≌△CBE(ASA)
∴BD=BE(全等三角形对应边相等)
6.证明:如图,
∵BC⊥AD
∴∠ACE=∠BCD=90°
在Rt△ACE和Rt△BCD中

∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)
∴∠CAE=∠CBD(全等三角形对应角相等)
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CBD+∠BEF=90°
∴∠BFE=90°
∴AF⊥BD
7.解:AP=AQ且AP⊥AQ,理由如下:
如图,∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠BEQ=∠BDC=∠ADP=90°
∴∠1+∠3=90°
∠2+∠4=90°
∵∠3=∠4
∴∠1=∠2
在△ABP和△QCA中

∴△ABP≌△QCA(SAS)
∴AP=AQ(全等三角形对应边相等)
∠P=∠5(全等三角形对应角相等)
∵∠ADP=90°
∴∠P+∠PAD=90°
∴∠5+∠PAD=90°
即∠QAP=90°
∴AP=AQ且AP⊥AQ

 

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