八年级数学上册知识点归纳:一元一次不等式的解法

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八年级数学上册知识点归纳:一元一次不等式的解法

知识点总结
  一.一元一次不等式的解法:
  一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,其步骤为:
  1.去分母;
  2.去括号;
  3.移项;
  4.合并同类项;
  5.系数化为1。
  二.不等式的基本性质:
  1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;
  2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
  3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
  三.不等式的解:
  能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
  四.不等式的解集:
  一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
  五.解不等式的依据不等式的基本性质:
  性质1:不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变,
  
  性质2:不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,
  
  性质3:不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,
  
  常见考法
  (1)考查一元一次不等式的解法;
  (2)考查不等式的性质。
  误区提醒
  忽略不等号变向问题。
  【典型例题】(2010年铁岭加速度辅导学校)在四川抗震救灾中,某抢险地段需实行爆破。操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒,操作人员跑步的速度是5米/秒。为了保证操作人员的安全, 导火线的长度要超过( )
  A.66厘米 B.76厘米 C.86厘米 D.96厘米
  【解析】设导火线的长度要超过x厘米,
  
  故本题选择D。

 一元一次不等式的解集:
  一个有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。例如﹕
  不等式x-5≤-1的解集为x≤4;
  不等式x﹥0的解集是所有正实数。
  求不等式解集的过程叫做解不等式。
  将不等式化为ax>b的形式
  (1)若a>0,则解集为x>b/a
  (2)若a<0,则解集为x<b/a
  一元一次不等式的特殊解:
  不等式的解集一般是一个取值范围,但有时需要求未知数的某些特殊解,如求正数解、整数解、最大整数解等,解答这类问题关键是明确解的特征。
  不等式的解与解集:
  不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2>1的解
  ①不等式的解是指某一范围内的某个数,用它来代替不等式中的未知数,不等式成立。
  ②要判断某个未知数的值是不是不等式的解,可直接将该值代入等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是;否则不是。
  ③一般地,一个不等式的解不止一个,往往有无数个,如所有大于3的数都是x>3的解,但也存在特殊情况,如|x|≦0,就只有一个解,为x=0
  不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
  ①不等式的解集一般是一个取值范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解,不等式一般有无数个解。
  ②不等式的解集包含两方面的意思:
  解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立。(即不等式不成立)
  ③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点。
  一元一次不等式的解法
  :
  解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似,只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时,要改变不等式的符号。
  有两种解题思路:
  (1)可以利用不等式的基本性质,设法将未知数保留在不等式的一边,其他项在另一边;
  (2)采用解一元一次方程的解题步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
  解一元一次不等式的一般顺序:
  (1)去分母 (运用不等式性质2、3)
  (2)去括号
  (3)移项 (运用不等式性质1)
  (4)合并同类项。
  (5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)
  (6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
  不等式解集的表示方法:
  (1) 用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来。
  例如:x-1≤2的解集是x≤3。
  (2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解。
  用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。
  一元一次不等式的解法经典例题
  若不等式(2m-3k)x>7m-5k的解集是x<
2
3
  ,则不等式(7m-3k)x>2m-5k的解集是______.
  答案:
  (2m-3k)x>7m-5k,
  ∵不等式(2m-3k)x>7m-5k的解集是x<
2
3
  ,
  ∴2m-3k<0,
  ∴
7m-5k
2m-3k
  =
2
3
  ,
  解得:17m=9k,
  3k=
17m
3
  ,k=
17m
9
  ,
  ∵2m-3k<0,
  ∴2m<
17m
3
  ,
  ∴m>0,
  ∴(7m-3k)x>2m-5k的解集是x>-
67
12
  ,
  故答案为:x>-
67
12
  .
  解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来;
  1+
1
2
  x>
  x-13
  .
  答案:
  去分母得,6+3x>2(x-1),
  取括号得,6+3x>2x-2,
  移项得,3x-2x>-2-8,
  合并同类项得,x>-8,
  ∴不等式的解集是x>-8.
  把不等式的解集在数轴上表示如下:
  
  解不等式
5x-1
3
  -x<1,并将解集在数轴上表示出来,写出它的正整数解.
  答案:
  去分母得:5x-1-3x<3,(1分)
  移项得:5x-3x<3+1,(2分)
  合并同类项得:2x<4,
  把x的系数化为1得;x<2,(3分)
  它的解集在数轴上表示如下:
  
  (5分)
  所以这个不等式的正整数解为x=1.(6分)
  不等式3x>5x-6的正整数解是(  )
A.0,1,2B.1,2C.1,2,3D.0,1,2,3
  答案:
  ∵3x>5x-6,
  ∴x-5x>-6,
  ∴-2x>-6,
  ∴x<3,
  ∴不等式3x>5x-6的正整数解是1,2,
  故选B.
  解不等式:
x-1
2
  +1≤x,并把它的解集在数轴上表示出来.
  答案:
  去分母得,x-1+2≤2x,
  移项、合并同类项得,-x≤-1,
  系数化为1得,x≥1.
  在数轴上表示为:
  
  一元一次不等式
x+1
2
  >x+
  43
  的最大整数解是______.
  答案:
  去分母得:3x+3>6x+8,
  移项得:3x<-5,
  解得:x<-
5
3
  ,
  即最大整数解为:-2.
  故答案为:-2.

 

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