八年级数学重要复习资料:一次函数的图像

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八年级数学重要复习资料:一次函数的图像

一、定义与定义式:
  自变量x和因变量y有如下关系:
  y=kx+b
  则此时称y是x的一次函数。
  特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx(k为常数,k≠0)
  二、一次函数的性质:
  1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
  2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
  三、一次函数的图像及性质:
  1.作法与图形:通过如下3个步骤
  (1)列表;
  (2)描点;
  (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
  2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
  3.k,b与函数图像所在象限:
  当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
  当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
  当b>0时,直线必通过一、二象限;
  当b=0时,直线通过原点
  当b<0时,直线必通过三、四象限。
  特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
  四、确定一次函数的表达式:
  已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
  (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
  (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
  (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
  (4)最后得到一次函数的表达式。
  五、一次函数在生活中的应用:
  1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
  2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
  六、常用公式:
  1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
  2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
  3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
  4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

 一次函数的定义
  一次函数,也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示,当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
    函数的表示方法
  列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
  解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
  图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
  一次函数的性质
  一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,且k≠0),那么y叫做x的一次函数,当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
  注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为0)
  a).k不为0
  b).x的指数是1
  c).b取任意实数
  一次函数y=kx+b的图像是经过(0,b)和(-b/k,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看做直线y=kx平移|b|个单位长度得到。(当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移)具体如下:

    正比例函数和一次函数
正比例函数一次函数
概念一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,且k≠0),那么y叫做x的一次函数一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,且k≠0),那么y叫做x的一次函数,当b=0时,y=kx+b即y=kx,即为正比例函数
自变量范围X为全体实数
图像一条直线
必过点(0,0)、(1,k)(0,b)、(-b/k,0)
走向
k>0时,直线经过一、三象限
k<0时,直线经过二、四象限
k>0,b>0,直线经过一、二、三象限
k>0,b<0,直线经过一、三、三象限
k<0,b>0,直线经过一、二、四象限
k<0,b<0,直线经过二、三、三象限
增减性
k>0,y随x的增大而减小;(从左向右上升)
k<0,y随x的增大而减小。(左向右下降)
倾斜度|k|越大,越接近y轴;k越小,越接近x轴
图像的平移
b>0时,将直线y=kx的图像向上平移|b|个单位
b<0时,将直线y=kx的图像向下平移|b|个单位
    确定函数定义域的方法
  (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
  (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
  (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
  (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
  (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
    用待定系数法确定函数解析式的一般步骤
  (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
  (2)将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程
  (3)解方程得出未知系数的值;
  (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

 

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