八年级数学重要复习资料:算术平方根

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八年级数学重要复习资料:算术平方根


算术平方根的双重非负性
  1.a中a≧0
  2.a≧0
  算术平方根产生 根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度根号二,这个 根号二的发现 一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说),世界的一切事物都可以用有理数代表。
  对于这个无理数根号二,最终人们选取了用根号来表示
  算术平方根举例
  9的平方根为9的算术平方根为3,正数的平方根都是前面加,算术平方根全部都是正数。
  算术平方根辨析
  算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念,两者密不可分。可对于初学者来说是对孪生杀手,很容易在解题过程中产生错误。算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢?
  一、 两者区别
  1、定义不同:⑴一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root)。⑵一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根(square root)。这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根。
  2、表示方法不同:⑴a的算术平方根记为a ,读作根号a,a叫做被开方数(radicand)。⑵a的平方根记为a,读作正负根号a,其中a叫做被开方数。
  3、个数不同:从形式上看,二者的符号主体相似,但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上。这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个,而一个正数却有两个互为相反数的平方根。零只有一个平方根
  二、 两者联系
  1、前提条件相同:算术平方根和平方根存在的前提条件都是只有非负数才有算术平方根和平方根。
  2、存在包容关系:平方根包含了算术平方根,因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。
  3、0的算术平方根和平方根相同,都是0。

一、知识要点
  1、平方根:
  ⑴、定义:如果x2=a,则x叫做a
  的平方根,记作“(a称为被开方数)。
  ⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。 ⑶、算术平方根:正数a的正的平方根叫做a
  。
  2、立方根:
  ⑴、定义:如果x3=a,则x叫做a
  (a称为被开方数)。
  ⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
  3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
  二、规律总结:
  1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
  2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
  3
  a≥0。
  4、公式:⑴
  2=a(a≥0)
  a取任何数)。
  5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0
  例1 求下列各数的平方根和算术平方根
  (1)64;(2)(?3); (3)1
  例2 求下列各式的值
  (1)?81; (2)?; (3)
  (5).44,(6)?,(7)?
  2151; ⑷ 49(?3)292; (4)(?4). 25252(8)(?25) 49
  例3、求下列各数的立方根:
  ⑴ 343; ⑵ ?2
  二、巧用被开方数的非负性求值.
  当a≥0时,a的平方根是±a,即a是非负数.
  例4、若2?x?
  练习:已知y??2x?2x?1?2,求x的值.
  三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
  当a≥0时,a的平方根是±a,而(?a)?(?a)?0.
  例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a,求a的平方的相反数的立方根.
  练习:若2a?3和a?12是数m的平方根,求m的值.
  四、巧解方程
  2例6、解方程(1)(x+1)=36 (2)27(x+1)3=64
  五、巧用算术平方根的最小值求值. y10; ⑶ 0.729 27x?2?y?6,求y的立方根. x
  a?0,即a=0时其值最小,换句话说a的最小值是零.
  例4、已知:y=a?2?(b?1),当a、b取不同的值时,y也有不同的值.当y最小时,求b的非算术平方根.
  y?3?(z?2)2?0,求xyz的值。
  a
  ②已知互为相反数,求a,b的值。
  六、实数
  1、实数:有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类:
  ①按属性分类: ②按符号分类
  2.关于有理数的运算法则:运算规律和运算性质,在进行实数运算时仍适用.在实数范围内,不仅可以进行加.减.乘.除.乘方运算,而且正数和零总可以进行开平方运算,任何一个数都可以开立方运算.
  3.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过来,数轴上的每一个点都可以表示一个实数.可以用几何作图方法,在数轴上表示某些无理数,如
  、
  等.
  思考:(1)-a2一定是负数吗?-a一定是正数吗?
  (2
  )我们都知道
  个整数之间? (3)的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
  (4)实数包括____________或__________________;
  (5)
  下列各数:是一个无理数,那么-1在哪两 ,?,0.28,0
  3.14159,0.121121112
  3,22.其7中无理数有( )个
  七、实数大小比较的方法
  一、平方法 比较
  二、求差法 比较
  练习:比较下列各组数的大小: ①?3和的大小 25?1和1的大小 242和?;②3和3?2;③和3; 5
  ④?7和-2.45。
  八、解答题(每题4分,共8分)
  1、当a?1时,化简?4a?4a2?|2a?1| 2
  2、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图, 2化简a?b+(a?b?1)
  平方根立方根练习题
  一、填空题
  1.如果x?9,那么x=________;如果x2?9,那么x?________
  2.如果x的一个平方根是7.12,那么另一个平方根是________.
  3.?2的相反数是 , ?1的相反数是 ;
  4.一个正数的两个平方根的和是________.一个正数的两个平方根的商是________.
  5.若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则这个数是_________;
  6.算术平方根等于它本身的数有________,立方根等于本身的数有________. 7.的平方根是_______,4的算术平方根是_________,10?2的算术平方根是 ;
  8.若一个数的平方根是?8,则这个数的立方根是 ;
  9.当m______时,3?m有意义;当m______时,m?3有意义;
  10.若一个正数的平方根是2a?1和?a?2,则a?____,这个正数是 ;
  11.已知2a?1?(b?3)2?0,则2ab? ; 3
  12.a?1?2的最小值是________,此时a的取值是________.
  13.2x?1的算术平方根是2,则x=________.
  二、选择题
  14.下列说法错误的是( )
  A、(?1)2?1 B、3?13
  方根是?9
  15.(?3)2的值是( ).
  A.?3 B.3 C.?9 D.9
  16.设x、y为实数,且y?4?5?x?x?5,则x?y的值是( )
  A、1 B、9 C、4 D、5
  17.下列各数没有平方根的是( ).
  A.-﹙-2﹚ B.(?3)3 C.(?1)2??1 C、2的平方根是?2 D、?81的平 D.11.1

 

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