八年级数学重要复习资料:一元二次方程根与系数的关系

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八年级数学重要复习资料:一元二次方程根与系数的关系

 1.理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)。
  2.会运用根与系数的关系,由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。
  3.会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
  考点讲解
  1.若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-b/a,x1•x2=c/a。
  2.以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)。
  3.对二次项系数为1的方程x^2+px+q=0的两根为x1,x2时,那么x1+x2=-p,x1•x2=q。反之,以x1,x2为根的一元二次方程是:(x-x1)(x-x2)=0,展开代入两根和与两根积,仍得到方程:x^2+px+q=0。
  4.一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面:
  (1)已知一元二次方程的一个根,求另一个根,可用两根和或两根积的关系求另一个根。
  (2)已知含有字母系数的一元二次方程的一个根,求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式,一个关系式求得另一个根,再用另一个关系式求得字母系数的值。
  (3)已知一元二次方程,不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
  (4)验根、求根、确定根的符号。
  (5)已知两根,求作一元二次方程(注意最后结果要化为整系数方程)。
  (6)已知两数和与积,求这两个数。
  (7)解特殊的方程或方程组。

 对于一元二次方程
  
  ,当判别式△=
  
  时,其求根公式为:
  
  ;若两根为
  
  ,当△≥0时,则两根的关系为:
  
  ;
  
  ,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当
  
  ,
  
  时,那么
  
  则是
  
  的两根。一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点。学习中,老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外,还常常要求同学们熟记一元二次方程
  
  根的判别式
  
  存在的三种情况,以及应用求根公式求出方程
  
  的两个根
  
  ,进而分解因式,即
  
  。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析,希望能给同学们带来小小的帮助。
  一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。
  例1:已知关于
  
  的方程(1)
  
  有两个不相等的实数根,且关于
  
  的方程(2)
  
  没有实数根,问
  
  取什么整数时,方程(1)有整数解?
  分析:在同时满足方程(1),(2)条件的
  
  的取值范围中筛选符合条件的
  
  的整数值。
  解:∵方程(1)有两个不相等的实数根,
  ∴
  
  解得
  
  ;
  ∵方程(2)没有实数根,
  ∴
  
  解得
  
  ;
  于是,同时满足方程(1),(2)条件的
  
  的取值范围是
  
  其中,
  
  的整数值有
  
  或
  
  当
  
  时,方程(1)为
  
  ,无整数根;
  当
  
  时,方程(1)为
  
  ,有整数根。
  解得:
  
  所以,使方程(1)有整数根的
  
  的整数值是
  
  。
  说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定
  
  的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出
  
  ,这也正是解答本题的基本技巧。
  二、判别一元二次方程两根的符号。
    例1:不解方程,判别方程
  
  两根的符号。
  分析:对于
  
  来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定
  
  或
  
  的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定
  
  或
  
  的正负情况。
  解:∵
  
  ,∴△=
  
  —4×2×(—7)=65>0
  ∴方程有两个不相等的实数根。
  设方程的两个根为
  
  ,
  ∵
  
  <0
  ∴原方程有两个异号的实数根。
  说明:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中
  
  <0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若
  
  >0,仍需考虑
  
  的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。
    三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。
    例2:已知方程
  
  的一个根为2,求另一个根及
  
  的值。
    分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把
  
  代入原方程,先求出
  
  的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及
  
  的值。
    解法一:把
  
  代入原方程,得:
  
  即
  
  解得
  
  当
  
  时,原方程均可化为:
  
  ,
  解得:
  
  ∴方程
  
  的另一个根为4,
  
  的值为3或—1。
    解法二:设方程的另一个根为
  
  ,
  根据题意,利用韦达定理得:
  
  ,
  
  ∵
  
  ,∴把
  
  代入
  
  ,可得:
  
  ∴把
  
  代入
  
  ,可得:
  
  ,
  即
  
  解得
  
  ∴方程
  
  的另一个根为4,
  
  的值为3或—1。
  说明:比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简单。
    例3:已知方程
  
  有两个实数根,且两个根的平方和比两根的积大21,求
  
  的值。
  分析:本题若利用转化的思想,将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于
  
  的方程,即可求得
  
  的值。
    解:∵方程有两个实数根,
  ∴△
  
  解这个不等式,得
  
  ≤0
  设方程两根为
  
  则
  
  ,
  
  ∵
  
  ∴
  
  ∴
  
  整理得:
  
  解得:
  
  又∵
  
  ,∴
  
  说明:当求出
  
  后,还需注意隐含条件
  
  ,应舍去不合题意的
  
  。
  四、运用判别式及根与系数的关系解题。
    例5:已知
  
  、
  
  是关于
  
  的一元二次方程
  
  的两个非零实数根,问
  
  和
  
  能否同号?若能同号,请求出相应的
  
  的取值范围;若不能同号,请说明理由,
    解:因为关于
  
  的一元二次方程
  
  有两个非零实数根,
  ∴则有
  
  ∴
  
  又∵
  
  、
  
  是方程
  
  的两个实数根,所以由一元二次方程根与系数的关系,可得:
  
  假设
  
  、
  
  同号,则有两种可能:
  (1)
  
  (2)
  
  若
  
  , 则有:
  
  ;
  即有:
  
  解这个不等式组,得
  
  ∵
  
  时方程才有实树根,∴此种情况不成立。
  若
  
  ,则有:
  
  即有:
  
  解这个不等式组,得
  
  ;
  又∵
  
  ,∴当
  
  时,两根能同号
  说明:一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系,是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具,也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样,是设计考察创新能力试题的良好载体,在中考中与此有联系的试题出现频率很高,应是同学们重点练习的内容。

 

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