八年级数学重要知识点整理:点与圆的位置关系

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八年级数学重要知识点整理:点与圆的位置关系

一)教学知识点
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
(二)能力训练要求
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力.
2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略.
(三)情感与价值观要求
1.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.
2.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
教学重点
1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,并能掌握这个结论.
2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,并能过不在同一条直线上的三个点作圆.
教学方法
教师指导学生自主探索交流法.
教具准备
投影片三张
第一张:(记作§3.4A)
第二张:(记作§3.4B)
第三张:(记作 §3.4C)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线,经过两点只能作一条直线.那么,经过一点能作几个圆?经过两点、三点……呢?本节课我们将进行有关探索.
Ⅱ.新课讲解
1.回忆及思考
投影片(§3.4A)
1.线段垂直平分线的性质 及作法.
2.作圆的关键是什么?
[生]1.线段垂直平分线的性质是:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
作法:如下图,分别以A、B为圆心,以大于 AB长为半径画弧,在AB的两侧找出两交点C、D,作直线CD,则直线CD就是线段A B的垂直平分线,直线CD上的任一点到A与B的距离相等.
[师]我们知道圆的定义是:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点即为圆心,定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么?
[生]由定义可知,作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径,圆就随之确定.
2.做一做(投影片§3.4B)
(1)作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆?
(2)作圆,使它经过已知点A、B.你是如何作的?你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?
(3)作圆,使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上).你是如何作的?你能作出几个这样的圆?
[师]根据刚才我们的分析已知,作圆的关键是确定圆心和半径,下面请大家互相交换意见并作出解答.
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径,要经过已知点A作圆,只要圆心确定下来,半径就随之确定了下来.所以以点A以外的任意一点为圆心,以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆. 由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).
(2)已 知点A、B都在圆上,它们到圆心的距离都等于半径.因此 圆心到A、B的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知,线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,则圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任 意取一点,都能满足到A、B两点的距离相等,所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心,这点到A的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段AB的垂直平分线上有无数点,因此有无数个圆心,作出的圆有无数个.如图(2).
(3)要作一个圆经过A、B、C三点,就是要确定一个点作为圆心,使它到三点的距离相等.因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线,到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线,这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三 点的距离相等,就是所作圆的圆心.
因为两条直线的交点只有一个,所以只有一个圆心,即只能作出一个满足条件的圆.
[师]大家的分析很有道理,究竟应该怎样找圆心呢?
3.过不在同一条直线上的三点作圆.
投影 片(§3.4C)
作法图示
1.连结AB、BC
2.分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG,DE和
FG相交于点O
3.以O为圆心,OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆
他作的圆符合要求吗?与同伴交流.
[生]符合要求.
因为连结AB,作AB的垂直平分线ED,则ED上任意一点到A、B的距离相等;连结BC,作BC的垂直平分线FG,则FG上的任一点到B、C的距离相等.ED与FG的满足条件.
[师]由上可 知,过已知一点可作无数个圆.过已知两点也可作无数个圆,过不在同一条直线上的三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
4.有关定义
由上可知,经过三角形的三个顶点可以作一个 圆,这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle),这个 三角形叫这个圆的内接三角形.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心(circumcenter).
Ⅲ.课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,分别作出它们的外接圆,它们外心的位置有怎样的特点?
解:如下图.
O为外接圆的圆心,即外心.
锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在斜边上,钝角三角形的外心在三角形的外部.
Ⅳ.课时小结
本节课所学内容如下:
1.经历不在同一条直线上的 三个点确定一个圆的探索过程.
方法.
3.了解三角形的外接圆,三角形的外心等概念.
Ⅴ.课后作业
习题3.6
Ⅵ.活动与探究
如下图,CD所在的直线垂直平分线段AB.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?
解:因为A、B两点在圆上,所以圆心必与A、B两点的距离相等,又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,所以圆心在CD所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

1.在直角坐标平面中,M(2,0),圆M的半径为4,那么点P(﹣2,3)与圆M的位置关系是(  )
A.点P在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.不能确定
2.已知⊙O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与⊙O的位置关系是(  )
A.点到A在⊙O上B.点A在⊙O内C.点A在⊙O外D.点A与圆心O重合
3.已知⊙O的直径为3cm,点P到圆心O的距离OP=2cm,则点P(  )
A.在⊙O外B.在⊙O上C.在⊙O内D.不能确定
4.在⊙O中,圆心O在坐标原点上,半径为 ,点P的坐标为(4,5),那么点P与⊙O的位置关系是(  )
A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不能确定
5.关于半径为5的圆,下列说法正确的是(  )
A.若有一点到圆心的距离为5,则该点在圆外
B.若有一点在圆外,则该点到圆心的距离不小于5
C.圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D.圆上任意两点之间的部分可以大于10π
6.已知⊙O的半径为3cm,点A到圆心O的距离为4cm,则点A与⊙O的位置关系是(  )
A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外D.不能确定
7如图,动点M、N分别在直线AB与CD上,且AB∥CD,∠BMN与∠MND的角平分线相交于点P,若以MN为直径作⊙O,则点P与⊙O的位置关系是(  )
A.点P在⊙O外B.点P在⊙O内C.点P在⊙O上D.以上都有可能
8.在Rt △ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CP、CM分别是AB上的高和中线,如果圆A是以点A为圆心,半径长为2的圆,那么下列判断正确的是(  )
A.点P,M均在圆A内 B.点P、M均在圆A外
C.点P在圆A内,点M在圆A外 D.点P在圆A外,点M在圆A内
二.填空题(共6小题)
9.已知⊙O的半径为5,点A在⊙O外,那么线段OA的取值范围是 _________ .
10.已知⊙P在直角坐标平面内,它的半径是5,圆心P(﹣3,4),则坐标原点O与⊙P的位置关系是 _________ .
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC =1,分别以A、B为圆心的两圆外切,如果点C在圆A内,那么圆B的半径长r的取值范围是 _________ .
12.直角三角形的两直角边分别3,4;则它的外接圆半径R= __ _______ .
13.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 _________ .
14.已知⊙A的半径为5,圆心A(3,4),坐标原点O与⊙A的位置关系是 _________ .
三.解答题(共6小题)
15.如图,已知AD既是△ABC的中线,又是角平分线,请判断:
(1)△ABC的形状;
(2)AD是否过△ABC外接圆的圆心O,⊙O是否是△ABC的外接圆,并证明你的结论.

 

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