八年级数学竞赛例题专题-正方形

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专题20 正方形

阅读与思考
矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形,正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的菱形,因此,我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.
正方形问题常常转化为三角形问题解决,在正方形中,我们最容易得到特殊三角形、全等三角形,熟悉以下基本图形.

例题与求解
【例l】 如图,在正方形纸片 中,对角线 , 交于点 ,折叠正方形纸片 ,使 落在 上,点 恰好与 上的点 重合,展开后,折痕 分别交 , 于点 , .下列结论:① ;② ;③ ;④四边形 是菱形;⑤ .
其中,正确结论的序号是______________. (重庆市中考试题)
解题思路:本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法.

【例2】如图1,操作:把正方形 的对角线 放在正方形 的边 的延长线上
,取线段 的中点 .连 , .
(1)探究线段 , 的关系,并加以证明.
(2)将正方形 绕点 旋转任意角后(如图2),其他条件不变.
探究线段 , 的关系,并加以证明.
(大连市中考题改编)
解题思路:由 为 中点,想到“中线倍长法”再证三角形全等.

【例3】如图,正方形 中, , 是 , 边上两点,且 , 于 ,求证: .
(重庆市竞赛试题)
解题思路:构造 的线段是解本例的关键.

【例4】 如图,正方形 被两条与边平行的线段 、 分割成四个小矩形, 是 与 的交点,若矩形 的面积恰是矩形 面积的2倍,试确定 的大小,并证明你的结论.
(北京市竞赛试题)
解题思路:先猜测 的大小,再作出证明,解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系.

【例5】 如图,在正方形 中, , 分别是边 , 上的点,满足 ,
分别与对角线 交于点 .
求证:(1) ;
(2) . (四川省竞赛试题)
解题思路:对于(1),可作辅助线,创造条件,再通过三角形全等,即可解答;对于(2),很容易联想到直角三角形三边关系.


【例6】已知 :正方形 中, , 绕点 顺时针旋转,它的两边分别交 , (或它们的延长线)于点 .
当 绕点 旋转到 时(如图1),易证 .
(1)当 绕点 旋转到 时(如图2),线段 和 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;
(2)当 绕点 旋转到如图3的位置时,线段 和 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.
(黑龙江省中考试题)
解题思路:对于(2),构造 是解题的关键.


能力训练
A级
1. 如图,若四边形 是正方形, 是等边三角形,则 的度数为__________.
(北京市竞赛试题)
2. 四边形 的对角线 相交于点 ,给出以下题设条件:
① ;
② ;
③ ;
④ .
其中,能判定它是正方形的题设条件是______________. (把你认为正确的序号都填在横线上) (浙江省中考试题)
3.如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住一个不动,将另一个绕顶点 顺时针旋转 ,则这两个正方形重叠部分的面积是__________.
(青岛市中考试题)

第1题图 第3题图 第4题图

4.如图, 是正方形 内一点,将 绕点 顺时针方向旋转至能与 重合,若 ,则 =__________. (河南省中考试题)
5.将 个边长都为 的正方形按如图所示摆放,点 分别是正方形的中心,则 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )
A . B. C. D.
(晋江市中考试题)


第5题图 第6题图

6. 如图,以 的斜边 为一边在 的同侧作正方形 ,设正方形的中心为 ,连接 ,如果 ,则 的长为( )
A . 12 B.8 C. D.
(浙江省竞赛试题)
7.如图,正方形 中, ,那么 是( )
A . B. C. D.

8.如图,正方形 的面积为256,点 在 上,点 在 的延长线上, 的面积为200,则 的值是( )
A.15 B.12 C.11 D.10

9.如图,在正方形 中, 是 边的中点, 与 交于 点,求证: .

10. 如图,在正方形 中, 是 边的中点, 是 上的一点,且 .
求证: 平分 .

11. 如图,已知 是正方形 对角线 上一点, 分别是垂足.
求证: .
(扬州市中考试题)


12.(1)如图1,已知正方形 和正方形 , 在同一条直线上, 为线段 的中点.探究:线段 的关系.
(2)如图2,若将正方形 绕点 顺时针旋转 ,使得正方形 的对角线 在正方形 的边 的延长线上, 为 的中点.试问:(1)中探究的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(大连市中考试题)

图1 图2

B级
1. 如图,在四边形 中, , 于 ,若四边形 的面积为8,则 的长为__________.
2.如图, 是边长为1的正方形 内一点,若 ,则
__________.
(北京市竞赛试题)

3.如图,在 中, ,以 为一边向三角形外作正方形 ,正方形的中心为 ,且 ,则 的长为__________.
(“希望杯”邀请赛试题)
4.如图:边长一定的正方形 , 是 上一动点, 交 于 ,过 作 交 于 点,作 于点 ,连接 ,下列结论:① ;② ;
③ ;④ 为定值,其中一定成立的是( )
A . ①②③ B.①②④ C. ②③④ D. ①②③④
5.如图, 是正方形, , 是菱形,则 与 度数的比值是( )
A . 3 B.4 C. 5 D. 不是整数
6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形,那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )
A . B. C. 8 D. E.
(美国高中考试题)

7.如图,正方形 中, , 是 的中点,设 ,在 上取一点 ,使
,则 的长度等于 ( )
A . 1 B.2 C. 3 D.
(“希望杯”邀请赛试题)
8.已知正方形 中, 是 中点, 是 延长线上一点, 且交 平分线于 (如图1)
(1)求证: ;
(2)若将上述条件中的“ 是 中点”改为“ 是 上任意一点”其余条件不变(如图2),(1)中结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如图2,点 是 的延长线上(除 点外)的任意一点,其他条件不变,则(1)中结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(临汾市中考试题)
`
9.已知 求证:

10.如果,点 分别在正方形 的边 上,已知 的周长等于正方形 周长的一半,求 的度数. (“祖冲之杯”邀请赛试题)

11.如图,两张大小适当的正方形纸片,重叠地放在一起,重叠部分是一个凸八边形 ,对角线 分这个八边形为四个小的凸四边形,请你证明: ,且 .
(北京市竞赛试题)

12.如图,正方形 内有一点 ,以 为边向 外作正方形 和正方形 ,连接 .求证: .
(武汉市竞赛试题)

 

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