八年级数学竞赛例题和差化积--因式分解的方法1专题讲解

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专题3 和差化积----因式分解的方法(1)

阅读与思考
提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法,通常根据多项式的项数来选择分解的方法,有公因式的先提公因式,分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止.
一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法:
1.换元法:
对一些数、式结构比较复杂的多项式,可把多项式中的某些部分看成一个整体,用一个新字母代替,从而可达到化繁为简的目的.从换元的形式看,换元时有常值代换、式的代换;从引元的个数看,换元时有一元代换、二元代换等.
2.拆、添项法:
拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差,添项即把代数式添上两个符号相反的项,因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的,即经过拆项或添项后,多项式能恰当分组,从而可以运用分组分解法分解.

例题与求解
【例l】分解因式 ___________.
(浙江省中考题)
解题思路:把 看成一个整体,用一个新字母代换,从而简化式子的结构.


【例2】观察下列因式分解的过程:
(1) ;
原式= ;
(2) .
原式= .
第(1)题分组后能直接提公因式,第(2)题分组后能直接运用公式.
仿照上述分解因式的方法,把下列各式分解因式:
(1) ;
(西宁市中考试题)
(2) .
(临沂市中考试题)
解题思路:通过分组,使每一组分组因式后,整体能再分解,恰当分组是关键,经历“实验--失败--再试验--再失败--直至成功”的过程.

【例3】分解因式
(1) ;
(重庆市竞赛题)
(2) ;
(“缙云杯”邀请赛试题)
(3) .
(“五羊杯”竞赛试题)


解题思路:(1)式中系数较大,直接分解有困难,不妨把数字用字母来表示;(2)式中 、 反复出现,可用两个新字母代替,突出式子的特点;(3)式中前两项与后一项有密切联系.


【例4】把多项式 因式分解后,正确的结果是( ).
A. B.
C. D.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:直接分组分解困难,可考虑先将常数项拆成几个数的代数和,比如-3=-4+1.

【例5】分解因式:
(1) ;
(扬州市竞赛题)
(2) ;(请给出多种解法)
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
(3) .
解题思路:按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略.


【例6】分解因式: .
(河南省竞赛试题)
解题思路:拆哪一项?怎样拆?可有不同的解法.


能力训练

    A 级
1.分解因式:
(1) =___________________________.
(泰安市中考试题)
(2) =__________________________.
(威海市中考试题)
2.分解因式:
(1) =_________________________;
(2) =_____________________________.
3.分解因式: =____________________________.
4.多项式 与多项式 的公因式是____________________.
5.在1~100之间若存在整数 ,使 能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的 有_______个.
6.将多项式 分解因式的积,结果是( ).
A. B.
C. D.
7.下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是( ).
A. B.
C. D.
(“希望杯”邀请赛试题)
8.把 分解因式,其中一个因式是( ).
A. B. C. D.
9.多项式 有因式( ).
A. B.
C. D.
(“五羊杯”竞赛试题)

10.已知二次三项式 可分解成两个整系数的一次因式的积,那么().
A. 一定是奇数 B. 一定是偶数
C. 可为奇数也可为偶数 D. 一定是负数
11.分解因式:
(1) ;
(2) ;
(3) ; (“祖冲之杯”邀请赛试题)
(4) ; (重庆市竞赛试题)
(5) ;
(6) .

12.先化简,在求值:
,其中 , .

B 级
1.分解因式: =_______________.
(重庆市竞赛试题)
2.分解因式: =_____________.
(“五羊杯”竞赛试题)
3.分解因式: =_________________________.
(“希望杯”邀请赛试题)
4.分解因式: =______________________.
(“五羊杯”竞赛试题)
5.将 因式分解得().
A. B.
C. D.
(陕西省竞赛试题)
6.已知 是△ABC三边的长,且满足 ,则此三角形是( ).
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定
7. 的因式是( ).
A. B. C. D. E.
(美国犹他州竞赛试题)
8.分解因式:
(1) ; (湖北省黄冈市竞赛试题)
(2) ; (江苏省竞赛试题)
(3) ; (陕西省中考试题)
(4) ; (“祖冲之杯”邀请赛试题)
(5) ; (“五羊杯”竞赛试题)
(6) . (太原市竞赛试题)

9.已知乘法公式:


利用或者不利用上述公式,分解因式: .
(“祖冲之杯”邀请赛试题)


10.分解因式:
(1) ;
(2) ;
(3) .

11.对方程 ,求出至少一组正整数解.
(莫斯科市竞赛试题)

12.已知在△ABC中, ,
求证: .
(天津市竞赛试题)

 

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