图形的平移与旋转

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第二十九讲 图形的平移与旋转
前苏联数学家亚格龙将几何学定义为:几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科.
几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法,若仅改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小,这种变换称为合同变换,平移、旋转是常见的合同变换.
如图1,若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后,则由的变换叫平移变换.
平移前后的图形全等,对应线段平行且相等,对应角相等.
如图2,若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2,则由Fl到F2的变换叫旋转变换,其中定点叫旋转中心,定角叫旋转角.
旋转前后的图形全等,对应线段相等,对应角相等,对应点到旋转中心的距离相等.

通过平移或旋转,把部分图形搬到新的位置,使问题的条件相对集中,从而使条件与待求结论之间的关系明朗化,促使问题的解决.
注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换.等积变换,只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换,只保留线段间的比例关系,而线段本身的大小要改变.
例题求解
【例1】如图,P为正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1:2:3,则∠APD= .

思路点拨 通过旋转,把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形.
【例2】 如图,在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN= x,DN=n,则以线 段x、m、n为边长的三角形的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.随x、m、n的变化而改变

思路点拨 把△ACN绕C点顺时针旋转45°,得△CBD,这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角,在一条直线上的m、 x、n 集中为△DNB,只需判定△DNB的形状即可.
注 下列情形,常实施旋转变换:
(1)图形中出现等边三角形或正方形,把旋转角分别定为60°、90°;
(2)图形中有线段的中点,将图形绕中点旋转180°,构造中心对称全等三角形;
(3)图形中出现有公共端点的线段,将含有相等线段的图形绕公共端点,旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合.
【例3】 如图,六边形ADCDEF中,AN∥DE,BC∥EF,CD∥AF,对边之差BC-EF=ED—AB=AF—CD>0,求证:该六边形的各角相等.
(全俄数学奥林匹克竞赛题)

思路点拨 设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示,题设中有平行条件,可考虑实施平移变换.
注 平移变换常与平行线相关,往往要用到平行四边形的性质,平移变换可将角,线段移到适当的位置,使分散的条件相对集中,促使问题的解决.
【例4】 如图,在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F,使AE=CF.已知BC=2,求证:EF≥1. (西安市竞赛题)

思路点拨 本例实际上就是证明2EF≥BC,不便直接证明,通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中.
注 三角形中的不等关系,涉及到以下基本知识:
(1)两点间线段最短,垂线段最短;
(2)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边),三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【例5】 如图,等边△ABC的边长为 ,点P是△ABC内的一点,且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA、PB的长. (“希望杯”邀请赛试题)


思路点拨 题设条件满足勾股关系PA2+PB2=PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形,不能直接应用,通过旋转变换使其集中到一个三角形中,这是解本例的关 键.
学历训练
1.如图,P是正方形ABCD内一点,现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合,若PB=3,则PP′= .
2.如图,P是等边△ABC内一点,PA=6,PB=8,PC=10,则∠APB .
3.如图,四边形ABC D中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,则CD的长为 .


4.如图,把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,若AB= ,则此三角形移动的距离AA'是( )
A. B. C.l D. (2002年荆州市中考题)
5.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F,给出以下四个结论:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四边形AEPF= S△ABC;④EF=AP.
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终正确的有( )
A.1个 B.2个 C .3个 D.4个
(2003年江苏省苏州市中考题)
6.如图,在四边形 ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E, S四边形ABCD d=8,则BE的长为( )
A.2 B.3 C . D. (2004年武汉市选拔赛试题)

7.如图,正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为 和 ,对角线BD、FH都在直线 上,O1、O2分别为正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距,当中心O2在直线 上平移时,正方形EFGH也随之平移,在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化.
(1)计算:O1D= ,O2F= ;
(2)当中心O2在直线 上平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1O2= ;
(3)随着中心O2在直线 上平移,两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程). (徐州市中考题)


8.图形的操做过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直 方向的边长均为b):
在图a中,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2(即阴影部分);
在图b中, 将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B1B2B3(即阴影部分);


(1)在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:S1= ,,S2= ,S3= ;
(3)联想与探索:
如图d,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的.
(2002年河北省中考题)
9.如图,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,求证:AN=BM.
说明及要求:本题是《几何》第二册几15中第13题,现要求:
(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在CB上,请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在①所得的图形中,结论“AN=BM”是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)在①得到的图形中,设MA的延长线与BN相交于D点,请你判断△ABD与四边形MDNC的形状,并证明你的结论.

10.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2.
11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,点E在DC上,AE、BC的延长线交于点F,若AE=10,则S△ADE+S△CEF的值是 .
(绍兴市中考题)


12.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC内一点,则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )
A.PA+PB+PC>AB+AC B.PA+PB+PC<AD+AC
C. PA+PB+PC=AB+AC D.无法确定
13.如图,设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3,则PC所能达到的最大值为( )
A. B. C .5 D.6
(2004年武汉市选拔赛试题)
14.如图,已知△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC 延长线上一点,BD=CE,连DE,求证:DE>DC.
15.如图,P为等边△ABC内一点,PA、PB、PC的长为正整数,且PA2+PB2=PC2,设PA=m,n为大于5的实数,满 ,求△ABC的面积.
16.如图,五羊大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河, ∥ 表示小河甲, ∥ 表示小河乙,A为校本部大门,B为分校大门,为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.图中的尺寸是:甲河宽8米,乙河宽10米,A到甲河垂直距离为40米,B到乙河垂直距离为20米,两河距离100米,A、B两点水平距离(与小河平行方向)120米,为使A、B两点间来往路程最短,两座桥都按这个目标而建,那么,此时A、D两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)

17.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到△ABC各边的距离都等于1,将△ABC绕 点O顺时针旋转45°,得△A1BlC1 ,两三角形公共部分为多边形KLMNPQ.
(1)证明:△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形;
(2)求△ABC与△A1BlC1公共部分的面积. (山东省竞赛题)

18.(1)操作与证明:如图1,O是边长为a的正方形ACBD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处,并将纸板绕O点旋转,求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值.
(2)尝试与思考:如图2,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转, 当扇形纸板的圆心角为 时,正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为 时,正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a.
(3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转.当扇形纸板的圆心角为 时,正n边形的边被纸板覆盖部分 的总长度为定值a;这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系;若不是定值,请说明理由.
(江苏省连云港市中考题)

 

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