分式方程(组)

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第三十四讲 分式方程(组)
本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用.
【知识拓展】
分 母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程组的基本思想是:化为整式方程.通常有两种做法:一是去分母;二是换元.
解分式方程一定要验根.
解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分.常见的思路有:取倒数法方程迭加法,换元法等.
列分式方程解应用题,关键是找到相等关系列出方程.如果方程中含有字母表示的已知数,需根据题竞变换条件,实现转化.设未知数而不求解是常见的技巧之一.
例题求解
一、分式方程(组)的解法举例
1.拆项重组解分式方程
【例1】解方程 .
解析 直接去分母太繁琐,左右两边分别通分仍有很复杂的分子.考虑将每一项分拆:如 ,这样可降低计算难度.经检验 为原方程的解.
注 本题中用到两个技巧:一是将分式拆成整式加另一个分式;二是交换了项,避免通分后分子出现x.这样大大降低了运算量.本讲趣题引路中的问题也属于这种思路.
2.用换元法解分式方程
【例2】解方程 .
解析 若考虑去分母,运算量过大;分拆也不行,但各分母都是二次三项式,试一试换元法.
解 令x2+ 2x—8=y,原方程可化为
解这个关于y的分式方程得y=9x或y=-5x.
故当y=9x时,x2+2x—8=9x,解得x1=8,x2=—1.
当y=-5x时,x2+2x—8=-5x,解得x3=—8,x4=1.
经检验,上述四解均为原方程的解.
注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时,可通过换元将之简化.
3.形如 结构的分式方程的解法
形如 的分式方程的解是: , .
【例3】解方程 .
解析 方程左边两项的乘积为1,可考虑化为上述类型的问题求解.
, 均为原方程的解.
4.运用整体代换解分式方程组
【例4】解方程组 .
解析 若用常规思路设法消元,难度极大.注意到每一方程左边分子均为单项式,为什么不试一试倒过来考虑呢?
解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解.
若x、y、z均不为0,取倒数相加得x=y=z=
故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z= .
二、含字母系数分式方程根的讨论
【例5】解关于x的方程 .
解析 去分母化简 为含字母系数的一次方程,须分类讨论.
讨论:(1)当a2-1≠0时
①当a≠0时,原方程解为x= ;
②当a=0时,此时 是增根.
(2) 当a2-1=0时即a= ,此时方程的解为x≠ 的任意数;
综上,当a≠±1且a≠0时,原方程解为x= ;当a=0时,原方程无解,;当a= 时,原方程的解为x≠ 的任意数.
三、列分式方程解应用题
【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的,每次只跨1级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与 自动扶梯的级数相等,两个孩子各自到扶梯顶部后按原 速度再下楼梯 ,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离).求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?
解析 题中有两个等量关系,男孩走27级的时间等于扶梯走了S-27级的时间;女孩走18级的时间等于扶梯走S—18级的时间.
解 (1)设女孩上梯速度为x级/分,自动扶梯的速度为y级/分,扶梯露在外面的部分有S级,则男孩上梯的速度为2x级/分,且有
解得 S=54.
所以扶梯露在外面的部分有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍,走过楼梯n遍,则女孩走过自动扶梯(m—1)遍、走过楼梯(n—1)遍.
由于两人所走的时间相等,所以有 .
由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16.
无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时,m、n中都一定有一个是正整数,且0≤m—n≤1.
试验知只有 m=3,n= 符合要求.
所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+ ×54=198(级).
注 本题求解时设的未知数x、y,只设不求,这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系,便于解题.
【例7】 (江苏省初中数学竞赛C卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中.15号弹珠在篮子A中,把这个弹珠从篮子A移至篮子B中,这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加 ,篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加 .问原来在篮子A中有多少个弹珠?
解析 本题涉及A中原有弹珠,A、B中号码数的平均数,故引入三个未知数.
解 设原来篮子A中有弹珠x个,则篮子B中有弹珠(25-x)个.又记原来A中弹珠号码数的平均数为a,B中弹珠号码数的平均数为b.则由题意得

解得x=9,即原来篮子A中有9个弹珠.

学力训练
(A级)
1.解分式方程 .
2.若关于x的方程 有增根x=1,求k的值.
3.解分式方程 .
4.解方程组 .
5.丙、丁三管齐开,15分钟可注满全池;甲、丁两管齐开,20分钟注满全池.如果四管齐开,需要多少时间可以注满全池?
(B级)
1.关于x的方程 有唯一的解,字母已知数应具备的条件是( )
A. a≠b B.c≠d C.c+d≠0 D.bc+ad≠0
2.某队伍长6km,以每小时5 km的速度行进,通信员骑马从队头到队尾送信,到 队尾后退返回队头,共用了0.5 h,则通信员骑马的速度为每小时 km.
3.某项工作,甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍,乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍,丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍,则 = .
4.m为何值时,关于x、y的方程组: 的解,满足 , ?
5.(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂 家需付甲、乙两队共8700元;乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共9500元;甲、丙两队合做5天完成全部工程的 ,厂家需付甲、丙两队共5500元.
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超过15天完成全部工程,问:由哪队单独完成此项 工程花钱最少?请说明理由.
6.甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同),甲每次购买粮食100kg,乙每次购买粮食用去100元.设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元/kg,第二次单价为y元/kg.
(1)用含x、y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元,乙两次共购买 kg粮食.若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Ql元,乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元则Q1= ;Q2= .
(2)若规定 谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式 就更合算,请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些,并说明理由.

 

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