立方根

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第二章 实数
3.立方根

一、教材分析
《立方根》是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》第三节.本节内容安排了1个学时完成.主要是通过对立方根与平方根的比较与归类,探索立方根的概念、计算和简单性质.因此,除了具体的知识技能(如知道一个数的立方根的意义,会用根号表示一个数的立方根,掌握立方根运算,掌握求一个数的立方根的方法和技巧)外,还需要昂学生感受类比的思想方法,为今后的学习打下基础.

二、学情分析
在学习了平方根概念的基础上学习立方根的概念,学生比较容易接受,因此教学重点放在立方根具有唯一性(实数范围内)的讨论上.在学生对数的立方根概念及个数的唯一性有了一定理解的基础上,再提出数的立方根与数的平方根有什么区别,学生就容易解决问题.
三、目标分析
教学目标
知识与技能目标
1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.会用立方运算求一个数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
4.区分立方根与平方根的不同.
过程与方法目标
1.经历对立方根的探究过程,在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略.
2.在学习了平方根的基础上,学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想.
3.通过对立方根性质的探究,在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识.
情感与态度目标:
1.在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中,培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.
2. 学生通过对实际问题的解决,体会数学的实用价值.
教学重点
立方根的概念及计算.
教学难点
立方根的求法,立方根与平方根的联系及区别.

四、教法学法
1.教学方法:类比法.
2.课前准备:
教具:教材,软件Microsoft PowerPoint 2002,电脑.
学具:教材,练习本.

五、教学过程
本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设问题情境;第二环节:复习引入、类比学习;第三环节:初步探究;第四环节:尝试反馈,巩固练习;第五环节:深入探究;第六环节:课时小结;探究与思考;第七环节:作业布置及课外探究.

第一环节:创设问题情境:
内容:
某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体,现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?
(球的体积公式为 ,R为球的半径)
提问:怎样求出半径R ?学完本节知识后,相信你会有一个满意的答案.有关体积的运算和面积的运算有类似之处,让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 .
意图:通过实际情境引入,让学生感受新知学习的必要性,激发学生的求知欲望.
效果:在思考问题的同时,学生既感受了数学的应用价值,激发了学生的学习热情,有很快将问题归结为如何确定一个数,它的立方等于4,从而顺利引入新课.

第二环节:复习引入、类比学习
内容:
提问:(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方根?
(2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根 是什么?
(3)平方和开平方运算有何关系?
(4)算术平方根和平方根有何区别和联系?
强调:一个正数的平方根有两个,且互为相反数;一个负数没有平方根;0的平方根是0.
(5)为了前面场景的问题中,需要引出一个新的运算,你将如何定义这个新运算?
1.一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次 方根).
2.一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root, 也 叫做三次方根).如:2是8的立方根, ,0是0的立方根.
意图:学生通过回顾上节课的学习内容,为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫,同时 突出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和联系.
效果:复习引入既复习了平方根的知识,又利于学生类比学习法学习立方根知识.

第三环节:初步探究
内容:
1做一做:怎样求下列括号内的数?各题中已知什么数?求什么数?
(1) ; (2) ; (3) .
意图:通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方,与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0,这样设计,在此过程中渗透分类讨论的思想方法.
2议一议:
(1)正数有几个立方根?
(2)0有几个立方根
(3)负数呢?
意图:提问,是为了指出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和联系.
3在上面的基础上明晰下列内容,对知识进行梳理
(1)每个数a都只有一个立方根,记为“ ”,读作“三次根号a”.例如x3=7时,x是7的立方根,即 =x;与数的平方根的表示比较,数的立方根中根号前没有“±”符号,但根指数3不能省略.
(2)正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数.
(3)求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中a叫做被开方数.开立方与立方互为逆运算.
效果:通过亲自运算、探究学习立方运算的逆运算,培养了学生的探究能力,初步掌握立方根的概念.

第四环节:尝试反馈,巩固练习
内容:
例1求下列各数的立方根:
(1) ;(2) ; (3) ; (4) ;(5) .
解:(1)因为 ,所以 的立方根是 ,即 ;
 (2)因为 ,所以 的立方根是 ,即 ;
 (3)因为 ,所以 的立方根是 ,即 ;
 (4)因为 ,所以 的立方根是 ,即 ;
 (5) 的立方根是 .
例2 求下列各式的值:
(1) (2) (3) ; (4) .
解:(1) = ; (2) = ;
(3) = ; (4) =9.
随堂练习
1.求下列各数的立方根:

2.通过上面的计算结果,你发现了什么规律?
意图:例1着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根,而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简化写法.例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质.
效果:学生通过练习掌握立方根的概念和计算,通过对计算结果的分析得出立方根的性质,若学生不能发现规律,教师可以再给出几个例子,如: 引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系,从而得出立方根的性质;也可以安排学生分小组讨论,通过交流,展示学生发现的规律;若学生的讨论不够深入,可由教师补充得出结论.

第五环节:深入探究
想一想:
(1) 表示a的立方根,那么 等于什么? 呢?
(2) 与 有何关系?
意图:明晰 =a, =a。
说明:若学生通过上面的计算得出了立方根的性质,可以直接展示学生的成果;若没有得出结果,可以引导学生分析,如果 =a,那么x就是a的立方根,即x= ,所以 = =a, 同样,根据定义, 是的a三次方,所以 的立方根就是a, 即 , = .

第六环节 课时小结:
  内容1:提问通过本节课的学习你学到了哪些知识?归纳、总结学生的回答,得出下列内容:
1.了解立方根的概念,会用三次根号表示一个数的立方根,能用立方运算求一个数的立方根.
2.在学习中应注意以下5点:
(1)符号 中根指数“3”不能省略;
(2)对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有一个立方根;
(3)平方根和立方根的区别:正数有两个平方根,但只有一个立方根;
负数没有平方根,但却有一个立方根;
(4)灵活运用公式:( )3=a, , = ;
(5)立方与开立方也互为逆运算.我们也可以用立方运算求一个数的立方根,或检验一个数是不是另一个数的立方根.
意图:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,使知识系统化.
效果:通过小结,学生进一步加深了对类比学习方法的感受,对所学的知识进行了梳理,学习更有条理性.
内容2:回顾引例
某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体,现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?
如有时间,学生学力许可,还可以安排学生探究下列问题:
1.回顾上节课的内容:已知 ,求x的值.
2.求下列各式中的x.
(1)8x3+27=0;(2)(x-1)3-0.343=0;(3)81(x+1)4=16;(4)32x5-1=0.
意图:回顾引例,使得教学环节更完整,同时体现了数学的实用价值.安排有层次的探究问题,可更好地调动不同学生的学习热情,让学生通过练习解决有关问题,培养学生综合解决问题的能力.

第七环节 作业布置
习题2.5

六、教学设计说明
(1)关注类比思想的渗透,关注学习方法的指导
类比是在两类不同的事物之间进行的对比,在找出若干相同或相似点之后,推测在这两类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式.当然,类比的结果是猜测的,不一定可靠,但它作为一种思考问题的方法,可以发现数学结论,可以沟通数学知识,可以解决生活中的一些实际问题,具有发现的功能,有助于发展学生的创新精神.因此,学习中要注意渗透这样的思维方式,实际上,类比学习法让学生省时省力,在学习新知的同时巩固已学的知识,通过新旧对比更好地掌握知识.为此,本节课让学生应用类比法顺理成章的学习立方根的概念、性质、运算.同样在学生以后的数学学习中,可以通过三角形类比四面体、通过圆类比球……
(2)关注学生个体差异,关注学生探究过程
根据新课标的评价理念,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平,关注的是学生对“议一议”、“想一想”、“比一比”的探究情况和学生反馈练习的完成情况,教师要关注学生是否理解立方和开立方是互为逆运算的,是否会用根号正确的表示一个数的立方根。教学过程中,教师应给足学生思考和计算的时间使学生用原有知识自我建构的过程,这是一个学生自主学习、探究学习的过程,充分开展这样的活动,可以使学生的个性得到张扬,探究能力得到培养。课堂上,教师对于学生的回答应给予恰当的评价和鼓励,帮助学生认识自我,建立自信,充分发挥评价的教育功能.
(3)需要说明的几个问题:
在第四教学环节中的例题1中补充了带分数的立方根求法,在教学中只要讲明将带分数转化为假分数,再求立方根的方法,学生就容易掌握;例题2则为第五环节补充立方根性质的3个公式( ( )3=a, , = )打下了基础,若学生基础较差,教师也可删去这3个公式;第六环节中的探究与思考,将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习,教师在教学过程中可根据学生的学习情况确定是否补充这部分内容,也可留给学生课后思考,分层要求,调动不同学生的学习热情.

 

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