一元二次不等式及其解法教案

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教学设计
3.3 一元二次不等式及其解法
整体设计
教学分析     
1.本节内容对学生来说不算太陌生,涉及的概念也不算多,所表现的数学基本思想也不复杂.但是,一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一,也是中学数学的一个基础和工具.由于一元二次不等式解法与二次函数联系紧密,而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节,因此很多学生对此学习表现出困惑.要使学生通过学习本节内容后,达到《新课标》所规定的要求却并非易事.因此在教学中要根据学生的实际情况,通过大量的实例,引导学生抽象概括,逐步理解掌握有关概念及思想方法,不可期待一蹴而就.要通过解题,逐步理解掌握有关方法与思想的内涵,避免陷入烦琐的计算与人为技巧之中,要重视引导学生经历探索、解决问题的过程.教师要充分阅读《新课标》,深刻理解本节的编写意图.
(1)意图一是数形互补,强化直观,突出精简实用.对一元二次不等式的解法,没有介绍较烦琐的纯代数方法,而是结合二次函数的图象,采取简洁明了的数形方法,体现删繁就简的意图.淡化解(证)不等式的技巧性要求,凸现了不等式的实际情境、几何意义及实际应用.
(2)意图二是总结方法,提炼思想,鼓励创新实用.对一元二次不等式求解“尝试设计求解程序框图”的要求,融入了算法的思想.其一是为算法找到了用武之地,其二是不但实现了不等式的上机求解,而且对不等式结构的认识显得更加清晰,更能看清问题的本质.其他如优化思想、化归思想、分类讨论思想、方程思想等.
(3)意图三是注重联系,更新观念,建立创新数学观.在教学中要积极引导学生,将所学内容与日常生活、生产实际、其他学科联系起来.通过类比、联想、知识迁移等方式,使学生体会本章知识间与其他知识间的有机联系,注意函数、方程、不等式的联系,数与形的联系,算法思想、优化思想、化归思想在有关内容中的渗透以及不同内容中的应用等.
2.本节分为三个课时.第一课时,理解一元二次不等式及其解法中的一些基本概念,求解一元二次不等式的步骤,求解一元二次不等式的程序框图.根据这些图表,得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系.第二课时通过例题的讲解和学生的练习,更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系,继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程,及时加以巩固.第三课时通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系,研究含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的探究和变式训练,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
实际教学时用两条途径研讨二次不等式的解法:一是对函数式配方并作出二次函数的图象;二是当函数存在零点时,对函数式进行因式分解.应当把第二条途径理解为是对第一条途径依据原理的加深理解.另外第二条途径的方法是把二次转化为一次来求解,化难为易,高次转 化为低次求解,这是研究代数问题的一条基本途径.我们教学的目的,不仅仅是让学生掌握解法,更重要的是让学生掌握研究问题的方法和技能.
三维目标     
1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式“三个二次”之间的关系,逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力.
2.通过含参不等式的探究,正确地对参数分区间进行讨论.并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的,树立辩证的世界观.
3.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想,培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归 纳总结等系统的逻辑思维能力,培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质.
重点难点     
教学重点:突出体现数形结合的思想,熟练地掌握一元二次不等式的解法,并理解解法的几何意义.
教学难点:深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系.
课时安排     
3课时
教学过程
第1课时
导入新课     
思路1.(类比导入)让学生回忆解方程3x+2=0的方法.作函数y=3x+2的图象,解不等式3x+2>0.我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集.类似地,我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢?
思路2.(直接导入)教师利用多媒体展示两个不等式:15x2+30x-1>0和3x2+6x-1≤0.让学生观察这两个不等式的共同点是什么?由此展开新课.
推进新课     
新知探究
提出问题
  1什么是一元二次不等式?2回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系?3类比“三个一次”之间的关系,怎样探究一元二次不等式的解法?
活动:为了探究一元二次不等式的解法,教师可引导学生先回忆已经学过的一元一次不等式的解法,回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系.这样做不仅仅是为探 究一元二次不等式的解法寻找类比的平台,也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握.
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系:可通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集.函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根,不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.
类比以上,我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系,并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .在初中学习二次函数时,我们曾解决过这样的问题:对二次函数y=x2-5x,当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0?因此二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间有着非常密切的联系.
教师利用多媒体让学生探究一元二次不等式x2-5x>0和x2-5x<0的解法.

先考察二次函数y=x2-5x=(x-52)2-254的图象和性质,如下图.

当x=0或x=5时,y=0,即x2-5x=0;
当0<x<5时,y<0,即x2-5x<0;
当x<0或x>5时,y>0,即x2-5x>0.
这就是说,若抛物线y=x2-5x与x轴的交点是(0,0)与(5,0),
则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0,x2=5.
一元二次不等式x2-5x<0的解集是{x|0<x<5};一元二次不等式x2-5x>0的解集是{x|x<0或x>5}.
这样,我们通过对函数式配方、画图就能解出一元二次不等式的解集.
另一种方法,教师可引导学生对函数式进行分解,即x2-5x=x(x-5).因此解不等式x2-5x>0,等价于解不等式组x>0,x-5>0或x<0,x-5<0.
解这两个不等式组,得x>5或x<0.
这种化高次为低次的研究方法,也是我们研究问题的重要方法.但把这两种方法进行比较,可以明显地体会到,作出相应的二次函数的图象,并由图象直接写出解集的方法更简便一些.今后我们解一元二次不等式时就可用第一种方法来解.
由一元二次不等式的一般形式,知任何一个一元二次不等式,最后都可以化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的 图象有关,即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.
由于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有三种情况,即两个不等实根,两个相等实根,无实根,反映在其判别式Δ=b2-4ac上分别为Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况.相应地,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置也分为三种情况(如下图).因此,对相应的一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集我们也分这三种情况进行讨论.

(1)若Δ>0,此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点〔图(1)〕,即方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实根x1,x2(x1<x2),则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是{x|x<x1或x>x2};不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是{x|x1<x<x2}.
(2)若Δ=0,此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴只有一个交点〔图(2)〕,即方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等的实根x1=x2=-b2a,则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是{x|x≠-b2a};不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是.
(3)若Δ<0,此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有交点〔图(3)〕,即方程ax2+bx+c=0(a>0)无实根,则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是R;不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是.

Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象

ax2+bx+c=0的根x1,2=-b±Δ2a
x1=x2=-b2a
Ø
ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠-b2a}
R
ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}ØØ

这样根据二次函数图象及一元二次方程根的情况,就可迅速求解一元二次不等式的解集,但教师需点拨学生注意:一是不要死记上表中的一元二次不等式的解集,对具体的一元二次不等式,首先想到的是二次函数图象,想到的是判别式Δ的情况;二是不等式的解集一定要书写规范,只能用集合或区间表示,避免出现似是而非的错误.对于ax2+bx+c>0(a<0)的情况,只需将二次项系数化为正值再求解即可.
讨论结果:
(1)含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.
(2)略.
(3)两条途径探究一元二次不等式的解法:一条是对函数式配方、画图解决;另一条是对函数式进行因式分解解决.
应用示例
例1(教材本节例1)
活动:本例的目的是让学生熟悉怎样结合二次函数 、一元二次方程求解一元二次不等式,以及怎样书写解题步骤和解集.本例可让学生自己解决,待充 分暴露问题后,教师进行一一点拨纠正.
点评:解完此例后,教师可结合多媒体回顾前面探究的一般一元二次不等式的解集,进一步加深学生对一元二次不等式解法的理解.
变式训练
1.解不等式4x2+4x+1<0.
解:∵Δ=42-4×4=0,由二次函数y=4x2+4x+1的图象,可知原不等式的解集为.
2.解不等式(1)x2+4x+4≥0;(2)x2+4x+4≤0.
解:∵Δ= 42-4×1×4=0,
∴原不等式可化为(1)(x+2)2≥0;(2)(x+2)2≤0.
∴原不等式(1)的解集为R;不等式(2)的解集为{-2}.


例2解不等式-3x2+15x>12.
活动:本例的二次项系数为负,教师引导学生先将不等式变为标准形式,即3x2-15x+12<0.进一步化简得x2-5x+4<0,然后结合二次函数图象及一元二次方程即可求解.可由学生自己完成.
解:原不等式可化为x2-5x+4<0.∵Δ>0,且方程x2-5x+4=0的两根为x1=1,x2=4,∴原不等式的解集为{x|1<x<4}.〔或写成(1,4)〕
点评:点拨学生充分利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系.
变式训练
 解不等式-x2+5x>6.
解:原不等式变形为x2-5x+6<0.
∵Δ=(-5)2-4×1×6=1>0,方程x2-5x+6=0的两根为x1=2,x2=3,∴原不等式的解集为{x|2<x<3}.

例3不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-12<x<13},则a-b等于(  )
A.-4 B.14 C.-10 D.10
答案:C
解析:由ax2+bx+2>0的解集是{x|-12<x<13},知x1=-12,x2=13是方程ax2+bx+2=0的根,且知a<0.∴-ba=-12+13,2a=-12×13.∴a=-12,b=-2.
∴a-b=-10.
点评:已知不等式的解集求相应系数,此类问题应转化为相应方程对应根的问题.运用根与系数的关系求解.
变式训练
1.解不等式4(2x2-2x+1)>x(4-x).
解:原不等式整理,得9x2-12x+4>0.∵Δ=144-4×9×4=0,方程9x2-12x+4=0的解是x1=x2=23,∴原不等式的解集是{x|x≠23}.
2.若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx-2>0的解集相等,则实数a、b的值为(  )
A.a=-8,b=-10       B.a=-4,b=-9
C.a=-1,b=9 D.a=-1,b=2
答案:B
解析:由|8x+9|<7,得-2<x<-14,
∴-2,-14是方程ax2+bx-2=0的两根.
故-2-14=-ba,-2×-14=-2a,解得a=-4,b=-9.


例4解不等式(12) ≤(12)
活动:本例需要根据指数函数的性质,这对学生来说有点难度,教师可根据学生的探究情况适时点拨,将不等式等价转化为一元二次不等式.
解:由指数函数y=(12)x是单调递减函数可知,
原不等式等价于2x2-5x+6≥x2+x+6,即x2-6x≥0.
解这个一元二次不等式得x≤0或x≥6.
∴原不等式的解集为{x|x≤0或x≥6}.
知能训练
1.设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则(  )
A.M∩N=Ø B.M∩N=M
C.M∪N=M D.M∪N=R
2.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B等于(  )
A.{x|2≤x≤3} B.{x|2≤x<3}
C.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<3}
3.不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是,则实数a的取值范围是________.
答案:
1.B 解析:∵M={x|0<x<1},N={x|-2<x<2},
∴MN.∴M∩N=M.
2.C 解析:由x2-5x+6≤0,解得2≤x≤3.由|2x-1|>3,解得x<-1或x>2,所以A∩B={x|2<x≤3}.
3.-1<a<3 解析:原不等式可化为x2-2x-a2+2a+4≤0,
在R上解集为.
∴Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,
即a2-2a-3<0.解得-1<a<3.
课堂小结
1.由学生回顾本节课的探究过程,再次领悟通过二次函数图象解一元二次不等式的方法要领.点拨学生注意不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用,要重视数形结合思想.解一元二次不等式就是借助于二次函数的图象,抓住抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点,从而确定不等式的解集.同时运用二次函数图象的直观性帮助记忆.
2.教师强调,一元二次不等式的解集可用集合或区间表示,区间是特殊数集的表示方式,要能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集.
作业
课本习题3—3A组2(1)~(4)、3.
设计感想
本课时设计体现新课标理念.由于本节内容的工具性特点,课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践,让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯.同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神.
本课时设计强化了直观.由于本节教材内容有着丰富的几何背景,充分利用二次函数图象解一元二次不等式是新课标的特色.对一元二次 不等式的解法,没有介绍较烦琐的纯代数的方法,而是结合二次函数的图象,采取简洁明了的数形结合方法.
本课时设计突出二次函数的作用.一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例,必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会.必要时,甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样,去认识函数的图象,从图象上真正把握其内在本质.让学生明确,画二次函数图象只要关键点把握准即可,我们是利用它来解不等式,并不是要它本身,因而也没有必要精益求精地把图象画得十分精确.
(设计者:郑吉星)
第2课时
导入新课     
思路1.让学生回顾利用一元二次方程、二次函数间的关系求解一元二次不等式的操作过程,尝试自己独立画出求解一元二次不等式求解的基本过程的程序框图,由此导入新课.
思路2.让学生思考回答一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么呢?一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是:设二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象是抛物线l,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线l在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标,即二次函数y=ax2+bx+c的零点,本节课进一步熟悉这种关系.
推进新课     
新知探究
提出问题
1回忆一元二次不等式的解法,并说明一元二次不等式与一元二次方程、二次函数具有怎样的关系?
2回忆一般一元二次不等式的求解过程,你能用一个程序框图把这个求解过程表示出来吗?
3根据所学知识探究简单的分式不等式与简单的高次不等式的解法.这不是教材上的重点,但需要学生知道其变形原理且课后习题有分式不等式
活动:教师引导学生回顾一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线l,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线l在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标,即二次函数y=ax2+bx+c的零点,一元二次不等式的求解步骤,即程序是:
(1)将二次项系数化为正数:y=ax2+bx+c>0(或<0)(a>0).
(2)计算判别式Δ,分析不等式的解的情况:
①Δ>0时,求根x1<x2,若y>0,则x<x1或x>x2,若y<0,则x1<x<x2;
②Δ=0时,求根x1=x2=x0,若y>0,则x≠x0的一切实数,若y<0,则x∈,若y=0,则x=x0;
③Δ<0时,方程无解,若y>0,则x∈R,若y≤0,则x∈.

(3)写出解集.
为突出算法在数学中的应用,体会算法的基本思想及算法的重要性和有效性,可鼓励学生自行设计一个程序框图,将上述求解一元二次不等式的基本过程表示出来.结合多媒体给出下面的框图,让学生与教材78页程序框图比较异同.

分式不等式的同解变形有如下几种:
(1)fxgx>0 f(x)•g(x)>0;
(2)fxgx<0 f(x)•g(x)<0;
(3)fxgx≥0 f(x)•g(x)≥0且g(x)≠0;
(4)fxgx≤0 f(x)•g(x)≤0且g(x)≠0.
分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可 避免出错.
关于分式不等式与简单的高次不等式的解法,课本没作要求,但需了解其变形原理.简单高次不等式的解法可在备课资料中参阅.
讨论结果:
(1)~(3)略.
应用示例
例1(教材本节例5)
活动:教师可引导学生对函数定义域稍作回顾复习,点拨学生明确要使函数f(x)有意义,必须2x2+x-3≥0,且3+2x-x2>0同时成立.然后由学生自己完成此例.
变式训练
 设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为(  )
A.(1,2)∪(3,+∞)        B.(10,+∞)
C.(1,2)∪(10,+∞) D.(1,2)
答案:C
解析:∵f(x)= ∴不等式f(x)>2的解集由① 或② 解得.解①得1<x<2,解②得x>10,综上,不等式f(x)>2的解集为(1,2)∪(10,+∞).


例2解下列不等式:
(1)x+1x-3≥0;(2)5x+1x+1<3.
活动:对于这种分子、分母含x的因式的不等式,先把不等式的右边化为0,然后转化为整式不等式来解.本例让学生自主探究,教师适时点拨.
解:(1)不等式x+1x-3≥0可转化成不等式(x+1)(x-3)≥0且x≠3,
解得x≤-1或x>3.∴原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式5x+1x+1<3可等价转化为2x-1x+1<0,即(x-1)(x+1)<0.解得-1<x<1.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<1}.
点评:本例体现了分式不等式与整式不等式之间的转化.提醒学生注意转化的等价性.
变式训练
 不等式x+1x-2>0的解集是__________.
答案:{x|x<-1或x>2}
解析:不等式x+1x-2>0等价于(x+1)(x-2)>0.
解这个一元二次不等式得x<-1或x>2.
∴原不等式的解集是{x|x<-1或x>2}.

例3函数y=1xln(x2-3x+2+-x2-3x+4)的定义域为(  )
A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.(-4,0)∪(0,1)
C.[-4,0)∪(0,1] D.[-4,0)∪(0,1)
活动:教师引导学生根据定义域的要求写出相应的不等式,本例可由学生自己完成.
答案:D
解析:由题意知,
x≠0x2-3x+2≥0-x2-3x+4≥0x2-3x+2+-x2-3x+4>0x≠0x≥2或x≤1-4≤x≤1-4≤x<1,
所以-4≤x<0或0<x<1.
点评:本例作为选择题,也可用特值排除法,明显排除A.取x=1,-4可排除B、C.
变式训练
 函数y=-x2+x+6x-1的定义域是________.
答案:[-2,1)∪(1,3]
解析:由-x2+x+6≥0,x-1≠0,解得-2≤x≤3,x≠1.
故所求定义域为[-2,1)∪(1,3].

知能训练
1.已知集合M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N等于(  )
A.{x|x<-2} B.{x|x>3}
C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3}
2.解不等式组x2-6x+8>0,x+3x-1>2.
答案:
1.C 解析:M={x|-2<x<2},N={x|-1<x<3},
故M∩N={x|-1<x<2}.
2.解:由x2-6x+8>0,得(x-2)(x-4)>0,所以x<2或x>4.
由x+3x-1>2,得-x+5x-1>0,即1<x<5.故原不等式组的解集为(1,2)∪(4,5).
课堂小结
1.由学生自己理顺整合本节所学知识点.归纳求解简单不等式的转化方法及程序框图的应用等.
2.教师进一步强调,一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”.我们要深刻理解、牢牢掌握,并灵活地应用它,它是函数与方程思想的应用范例.
作业
习题3—3A组2(5)(6)、4;习题3—3B组1.
设计感想
1.本课时设计充分体现学生的主体地位 ,引导学生积极参与课堂探究,使教学过程由封闭型向开放型转化.在教学过程中由教师到学生的单向交流,变成师生之间多向交流,使教学成为一个探索、发现、创造的过程.
2.本课时重视了探究过程的操作,使教学过程设计更优化更合理.因为长期以来的课堂教学太过于重视结论,轻视过程.为了应付考试,为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”,教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在教学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法,到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器,这样的学生面对新问题、新高考将束手无策.
3.本课时设计“注意联系,注重概括,重视应用,提高学生数学能力”的侧重.我们常说“教学有法、教无定法、因材施教、贵在得法”,教学作为一门科学应当有规律可循,但是教学作为一门艺术,不应该也不能依靠某一种教学方法来实现它的全部功能,更重要的是应博采众长,优化课堂环境,注重提高学生的数学素质.
(设计者:郑吉星)
第3课时
导入新课     
思路1.(复习导入)教师展示一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系图表,点拨学生观察发现关于ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)恒成立问题的条件.在学生精心凝思的探究中引入新课.
思路2.(问题导入)我们解决x2-5x+4>0这样的一元二次不等式的求解问题,如果题目中含有字母参数怎么办呢?如解这样的不等式: ax2-5x+4>0.在学生的思考探究中自然地引入新课.
推进新课     
新知探究
提出问题
1回忆一元二次不等式的解法,简单分式不等式的解法.
2你能快速解决以下不等式吗?
①-x2+5x>6;②x2-4x+4>0;③x2+2x+3<0;④ >2.
3观察一元二次方程的根、一元二次不等式的解集与二次函数的图象的关系图表,你能有什么独到的发现吗?
活动:教师引导学生回顾一元二次不等式的求解过程,体会数形结合的威力.对一元二次不等式的解法应达到“心算”的程度,即对所给的一元二次不等式要能够通过“心算”,得出相应方程的解,再在脑海中想象出其二次函数的图象,立即得到原不等式的解.关键是深刻理解“三个二次”之间的关系.教师引导学生观察图表(多媒体课件演示).
[课件]一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具体关系对比如下表.

判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a> 0)的根有两相异实根
x1,2=-b±b2-4ac2a
(x1<x2)有两相等实根
x1=x2=-b2a
没有实根
一元
二次
不等
式的
解集ax2+bx+c>0
(a>0){x|x<x1或x>x2} {x∈R|x≠-b2a}
R
ax2+bx+c<0
(a>0){x|x1<x<x2}ØØ

观察上表,引导学生进一步观察出:ax2+bx+c>0对一切x∈R都成立的条件为a>0,Δ<0;ax2+bx+c<0对一切x∈R都成立的条件为a<0,Δ<0.
讨论结果:
(1)略.
(2)①(2,3);②(-∞,2)∪(2,+∞);③;④(-13,-5).
(3)ax2+bx+c>0(a≠0)对一切x∈R都成立,则a>0且Δ<0;ax2+bx+c<0(a≠0)对一切x∈R都成立,则a<0,Δ<0.
应用示例
例1解不等式mx2-2x+1>0.
活动:本题对解集的影响因素较多,若处理不当,不仅要分类讨论,而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑,分区间讨论,方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小,又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上,将区间进行划分,这样就可以保证不重不漏.
解:∵Δ=4-4m=4(1-m),
∴当m<0时,Δ>0,此时x1=1+1-mm<x2=1-1-mm.
∴解集为{x|1+1-mm<x<1-1-mm}.
当m=0时,方程为-2x+1>0,解集为{x|x<12},
当0<m<1时,Δ>0,此时x1=1+1-mm>x2=1-1-mm,
∴解集为{x|x>1+1-mm或x<1-1-mm}.
当m=1时,不等式为(x-1)2>0,
∴其解集为{x|x≠1};
当m>1时,此时Δ<0,故其解集为R.
点评:在以上的讨论中,请不要漏掉在端点的解集的情况.
变式训练
 解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.
解:Δ=k2+8k=k(k+8).
(1)当Δ>0,即k<-8或k>0时,方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根,
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是
{x|-k-kk+84≤x≤-k+kk+84};
(2)当Δ=0,即k=-8或k=0时,方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根,
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{-k4},即{0,2};
(3)当Δ<0,即-8<k<0时,方程2x2+kx-k=0无实根,
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集为Ø.

例2已知关于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x+a-1<0的解集为R,求a的取值范围.
活动:原不等式的解集为R,即对一切实数x不等式都成立,故必然有y=ax2+(a-1)x+a-1的图象开口向下,且与x轴无交点,反映在数量关系上则有a<0且Δ<0.
解:由题意,知要使原不等式的解集为R,必须a<0,Δ<0,
即a<0a-12-4aa-1<0 a<03a2-2a-1>0 a<0a>1或a<-13 a<-13.
∴a的取值范围是(-∞,-13).
点评:本题若无“一元二次不等式”的条件,还应考虑a=0的情况,但对本题讲a=0时式子不恒成立.(想想为什么)
变式训练
 若函数f(x)=kx2-6kx+k+8的定义域为R,求实数k的取值范围.
解:显然k=0时满足.而k<0时不满足,
k>0Δ=36k2-4kk+8≤00<k≤1.
∴k的取值范围是[0,1].

例3解 关于x的不等式x2-x-a(a-1)>0.
活动:对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正,所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.
(1)当最高次项系数含有字母时,首先需讨论该系数是否为零.
(2)整合结论时,对所讨论的对象按一定的顺序进行整理,做到不重不漏.
解:原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)>0,
若a>-(a-1),即a>12,则x>a或x<1-a.
∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞);
若a=-(a-1),即a=12,则(x-12)2>0.
∴x∈{x|x≠12,x∈R};
若a<-(a-1),即a<12,则x<a或x>1-a.
∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).
点评:解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?首先,必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地,一元二次不等式的解集(以ax2+bx+c>0为例)常与以下因素有关:(1)a;(2)Δ;(3)两根x1、x2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式,Δ关系到不等式对应的方程是否有解,而两根x1、x2的大小关系到解集最后的次序;其次再根据具体情况,合理分类,确保不重不漏.
变式训练
 已知a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是(  )
A.(0,1a1)    B.(0,2a1)    C.(0,1a3)    D.(0,2a3)
答案:B
解析:(1-aix)2<1a 2ix2-2aix<0a 2ix(x-2ai)<0.
∴解集为(0,2ai).又0<2a1<2a2<2a3,∴x∈(0,2a1).故选B.


例4若关于x的方程22x+2x•a+a+1=0有实根,求实数a的取值范围.
活动:教师引导学生思考探究,因为2x>0,故问题等价于关于2x的二次方程有正根时,求实数a的取值范围.因而可利用一元二次方程与二次函数之间的关系进行求解.
解:设f(t)=t2+at+a+1,当t=2x>0时,方程f(t)=0有实根,就转化为求函数f(t)在t轴正方向上至少有一个交点的条件,所以f(0)<0或f0≥0,Δ≥0,-a2>0.解得a<-1或-1≤a≤2-22.
故所求a的取值范围是a≤2-22.
点评:注意换元法与转化法的运用,充分利用数形结合思想.
变式训练
 已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
解:∵二次函数f(x)的二次项系数为a,∴令f(x)=ax2+bx+c.
由f(x)>-2x的解集为(1,3),∴ax2+bx+c>-2x,即ax2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3).∴ ∴f( x)=ax2-(4a+2)x+3a.
(1)由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.
∴Δ=0,得5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-15.
又a<0,∴a=-15.∴f(x)=-15x2-65x-35.
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-1+2aa)2-a2+4a+1a,及a<0,得f(a)max=-a2+4a+1a.由 解得a<-2-3或-2+3<a<0.∴实数a的取值范围是(-∞,-2-3)∪(-2+3,0).


知能训练
1.已知关于x的二次不等式px2+px-4<0对任意实数x都成立,求实数p的范围.
                           

2.已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根,求实数k的取值范围.
答案:
1.解:当p=0时,-4<0,成立.
当p<0且Δ<0时,得-16<p<0.
综上,知-16<p≤0.
2.解:要使原方程有两个负实根,必须
2k+1≠0Δ>0x1+x2<0x1x2>0k+1≠0k2+k-2<0-4k2k+1<03k-22k+1>0k≠-1-2<k<1k>0或k<-1k>23或k<-1-2<k<-1或23<k<1.
∴实数k的取值范围是{k|-2<k<-1或23<k<1}.
课堂小结
1.由学生归纳总结本节是如何解决含有字母参数的不等式的求解方法?需要注意哪些问题?怎样确定解题的切入点?
2.教师画龙点睛,总结本节课用到的不等式的基础知识,领悟分类讨论思想、化归思想、换元思想等数学思想方法的运用.
作业
习题3—3A组5、6、7;B组3、4.
设计感想
1.本课时设计注重以学生为主体,改变学生学习方式,提高学习质量.为了发挥教学过程的整体教育功能,保持教学系统的最大活力,在教学中综合运用多种教学方法,形成良好的整体结构,发挥教学的最大效益.
2.本课时设计根据近几年高考特点适当对例题、习题做了一些拓展,目的是让学生进一步理解一些数学方法和数学思想,拓宽学生的数学视野.但严格控制了题目难度及题目数量,以大多数学生的接受水平作为参考依据.否则,在我们的教学中就有可能“穿新鞋走老路”,随意提高教学要求,对教学效果产生负面影响.
3.本课时设计没有单纯从教学内容出发而进行设计,而是注重了对深层次的教学目的的考虑.这正是值得我们深思的问题,否则,我们的教学将只停留在知识内容或方法上,而忽视能力和素质要求,缺乏深层次的思考.
备课资料
一、备用习题
1.关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根,则m的取值范围是(  )
A.(-14,+∞)       B.(-∞,-14)
C.[-14,+∞) D.(-14,0)∪(0,+∞)
2.不等式x+5x-12≥2的解集是(  )
A.[-3,12] B.[-12,3]
C.[12,1)∪(1,3] D.[-12,1)∪(1,3]
3.若不等式ax2+5x+b>0的解集为{x|13<x<12},则a,b的值分别是______.
4.若方程x2-(k+2)x+4=0有两负根,求k的取值范围.
5.已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,求实数a的取值范围.
6.解关于x的不等式(并将解按a的值进行分类)x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
7.若ax2-2x+a的值可取得一切正实数,求a的取值范围.
参考答案:
1.D 解析:由m≠0且Δ>0,得m>-14,∴选D.
2.D 解析:原式可化为x+5≥2x-12x-1≠0 x∈[-12,1)∪(1,3].
3.-6 -1 解析:由a<0Δ>0x1+x2=13+12x1x2=13•12 a<0Δ>0-5a=56ba=16 a=-6,b=-1.
4.解:由Δ≥0x1+x2<0x1x2>0 [-k+2]2-16≥0k+2<04>0 k≤-6或k≥2k<-2 k≤-6.
5.解:若a2-1=0,即a=1或a=-1.
当a=-1时,原不等式解集为{x|x<12},不满足题意;
当a=1时,原不等式解集为R,满足题意.
若a2-1≠0,即a≠±1时,要使原不等式的解集为R,
必须a2-1<0Δ<0 a2-1<0a-12-4a2-1-1<0 -35<a<1.
∴实数a的取值范围是(-35,1)∪{1}=(-35,1].
6.解:化为(x-a2)(x-a)>0(在数轴上,不等式的解应在两根a、a2之外,但a、a2谁大?需要讨论),比较a与a2的大小:a2-a=a(a-1)根为0、1,将数轴分成三段.
∴当a<0时,a<a2,解得x<a或x>a2,∴原不等式的解集为(-∞,a)∪(a2,+∞);
当a=0时,a2=a,解得x≠0,∴原不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);
当0<a<1时,a2<a,解得x<a2或x>a,∴原不等式的解集为(-∞,a2)∪(a,+∞);
当a=1时,a2=a,解得x≠1,∴原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
当a>1时,a2>a,解得x<a或x>a2,∴原不等式的解集为(-∞,a)∪(a2,+∞).
7.解:设f(x)=ax2-2x+a.
当a=0时,f(x)=-2x可取一切正实数;
当a>0时,∵f(x)可以取得所有正实数,∴抛物线与x轴必有公共点.
∴Δ≥0,得0<a≤1.
当a<0时,抛物线开口向下,f(x)无法取得一切正实数,故0≤a≤1为所求.
二、一元二次方程与数学家韦达
韦达,1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律,曾以律师身份在法国议会里工作,韦达不是专职数学家,但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学,并作出了很多重要贡献,成为那个时代最伟大的数学家.
在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).
韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人,并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作,是他确定了符号代数的原理与方法,使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.他还写下了《数学典则》,1579年,韦达出版《应用于三角形的数学定律》.这是欧洲第一本使用六种三角函数的系统的平面、球面三角学.主要著作还有《论方程的识别与修正》《分析五章》等.韦达的著作以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂,在当时不能得到广泛传播.在他逝世后,才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.
韦达1603年卒于巴黎,享年63岁.由于韦达作出了许多重要贡献,成为16世纪法国最杰出的数学家,在欧洲被尊称为“代数学之父”.
三、中国在一元二次方程方面的成就
从“九章算术”卷八说明方程以后,在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就.
“九章算术”方程章首先解释正负数是确切不移的,正像我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样,负数的出现更丰富了数的内容.我们古代的方程在公元前1世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种.一元二次方程是借用几何图形而得到证明.不定方程的出现在两千多年前的中国是一个值得重视的课题,这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年.具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程,中 国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载,用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了),不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度,他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金.11世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786~1837)方法相 同的数字方程解法,我们也不能忘记13世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献.在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式,但比较起来中国天元术更加简洁明了.四元术是天元术发展的必然产物.级数是古老的东西,两千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数.14世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价,他的有些工作欧洲在十八九世纪的著作内才有记录.11世纪时代,中国已有完备的二项式系数表,并且还有这表的编制方法.历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的.内插法的计算,中国可上溯到6世纪的刘焯,并且7世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算.
14世纪以前,属于代数方面许多问题的研究,中国是先进国家之一.就是到十八九世纪由李锐(1773~1817),汪莱(1768~1813)到李善兰(1811~1882),他们在这一方面的研究上也都发表了很多的著作.

 

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10、《柯西不等式》知识点

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