《二次函数》知识点归纳

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《二次函数》知识点归纳

一、定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax2+bx+c(a0),则称y为x的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式:y=ax2+bx+c(a0)顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),此时抛物线的顶点坐标为P(h,k)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)仅用于函数图像与x轴有两个交点时,x1、x2为交点的横坐标,所以两交点的坐标分别为A(x1,0)和B(x2,0)),对称轴所在的直线为x=注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-,k=;x1,x2=;x1+x2=-
三、二次函数的图像从图像可以看出,二次函数的图像是一条抛物线,属于轴对称图形。
四、抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x=-,对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-,)。当x=-时,y最值=,当a0时,函数y有最小值;当a0时,函数y有最大值。当-=0时,P在y轴上(即交点的横坐标为0);当=b2-4ac=0时,P在x轴上(即函数与x轴只有一个交点)。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口向下。|a|越大,则抛物线的开口越小。对于两个抛物线,若形状相同,开口方向相同,则a相等;若形状相同,开口方向相反,则a互为相反数。
4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置,四字口诀为“左同右异”,即:当对称轴在y轴左边时,a与b同号(即ab当对称轴在y轴右边时,a与b异号(即ab0)。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点位置,抛物线与y轴交于点(0,c)。
6.抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法:=b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点,对应方程有两个不相同的实数根;=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点,对应方程有两个相同的实数根。=b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点,对应方程没有实数根。
五、二次函数与一元二次方程
二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c(a0),当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程,即ax2+bx+c=0,此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。(参考四-6)
六、常用的计算方法
1、求解析式的时候:若给定三个普通点的坐标,则设为一般式y=ax2+bx+c(a0),分别将三点坐标代入组成三元一次方程组,然后解此方程组求出a、b、c,再代回设的一般式中即可求出解析式;若给定有顶点坐标或对称轴、最值,则设为顶点式y=a(x-h)2+k(a0),再找一点坐标代入即可求出a,再代回设的顶点式即可求出解析式;若给定有与x轴的交点坐标,则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0),再找一点坐标代入即可求出a,再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特别要注意括号内的正负号。
2、若求函数与x轴的交点坐标,让y=0,解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标;
3、若求函数的顶点坐标,用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式;
4、若求函数的最大值或者最小值,也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同顶点坐标)。
5、当需要判定函数y=ax2+bx+c(a0)与x轴没有交点时,需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0,同理,与x轴只有一个交点时,=0,与x轴有两个交点时,gt;0。对的判定方法仍然是用配方的方法。

 

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