2013年中考数学归纳猜想型问题(二)复习

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2013年中考数学复习专题讲座八:归纳猜想型问题(二)
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字,分析归纳,直观地发现共同特征,或者发展变化的趋势,据此去预测估计它的规律或者其他相关结论,使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合,必要时可以进行验证或者证明,依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高,经常以填空等形式出现,解题时要善于从所提供的数字或图形信息中,寻找其共同之处,这个存在于个例中的共性,就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式,体现了总结归纳的数学思想,这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言,猜想结论型问题的难度较大些,具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合,解题的方法也更为灵活多样:计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等,都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法,也是人们探索发现新知的重要手段,非常有利于培养创造性思维能力,所以备受命题专家的青睐,逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲
考点四:猜想数量关系
数量关系的表现形式多种多样,这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时,通常也是根据题目给出的关系式进行类比,仿照猜想数式规律的方法解答。
例8 (2012•苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x轴的距离是(  )

 A. B. C. D.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;解直角三角形。
专题:规律型。
分析:利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出D1E1=B2E2= ,B2C2= ,进而得出B3C3= ,求出WQ= × = ,FW=WA3•cos30°= × = ,即可得出答案.
解答:解:过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q,过点A3F⊥FQ于点F,
∵正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,
∴∠B3C3 E4=60°,∠D1C1E1=30°,∠E2B2C2=30°,
∴D1E1= D1C1= ,
∴D1E1=B2E2= ,
∴cos30°= = ,
解得:B2C2= ,
∴B3E4= ,
cos30°= ,
解得:B3C3= ,
则WC3= ,
根据题意得出:∠WC3 Q=30°,∠C3 WQ=60°,∠A3 WF=30°,
∴WQ= × = ,
FW=WA3•cos30°= × = ,
则点A3到x轴的距离是:FW+WQ= + = ,
故选:D.

点评:此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识,根据已知得出B3C3的长是解题关键.


例9 (2012•绍兴)如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交与点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;…;设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn﹣1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),则AP6的长为(  )

 A. B. C. D.

考点:翻折变换(折叠问题)。
专题:规律型。
分析:先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度,然后可发现规律推出ADn的表达式,继而根据APn= ADn即可得出APn的表达式,也可得出AP6的长.
解答:解:由题意得,AD= BC= ,AD1=AD﹣DD1= ,AD2= ,AD3= ,…,ADn= ,
又APn= ADn,
故AP1= ,AP2= ,AP3= …APn= ,
故可得AP6= .
故选A.
点评:此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律,注意培养自己的归纳总结能力.

例10 (2012•广州)如图,在标有刻度的直线l上,从点A开始,
以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;
以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;
以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;
以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆,
…按此规律,继续画半圆,则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的   倍,第n个半圆的面积为   (结果保留π)

考点:规律型:图形的变化类。
分析:根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径,进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关系,得出第n个半圆的半径,进而得出答案.
解答:解:∵以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;
以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;
以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;
以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆,
∴第4个半圆的面积为: =8π,
第3个半圆面积为: =2π,
∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 =4倍;
根据已知可得出第n个半圆的直径为:2n﹣1,
则第n个半圆的半径为: =2n﹣2,
第n个半圆的面积为: =22n﹣5π.
故答案为:4,22n﹣5π.
点评:此题主要考查了数字变化规律,注意数字之间变化规律,根据已知得出第n个半圆的直径为:2n﹣1是解题关键.
 


考点五:猜想变化情况
随着数字或图形的变化,它原先的一些性质有的不会改变,有的则发生了变化,而且这种变化是有一定规律的。比如,在几何图形按特定要求变化后,只要本质不变,通常的规律是“位置关系不改变,乘除乘方不改变,减变加法加变减,正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
例11 (2012•常德)若图1中的线段长为1,将此线段三等分,并以中间的一段为边作等边三角形,然后去掉这一段,得到图2,再将图2中的每一段作类似变形,得到图3,按上述方法继续下去得到图4,则图4中的折线的总长度为(  )

 A.2B. C. D.

考点:规律型:图形的变化类;等边三角形的性质。
分析:当n=2时,折线的长度为:1+ = ;当n=3时,折线的长度为: + × = ;当n=4时,折线的长度为: + × = ,从而可求出折线的总长度.
解答:解:由题意得:当n=2时,折线的长度为:1+ = ;
当n=3时,折线的长度为: + × = ;
当n=4时,折线的长度为: + × = .
故选D.
点评:此题考查的知识点是图形数字的变化类问题,同时考查学生分析归纳问题的能力,其关键是读懂题意,找出规律解答.
例12 (2012•河北)用4个全等的正八边形进行拼接,使相等的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图1,用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图2,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则n的值为   .

考点:平面镶嵌(密铺)。
专题:应用题。
分析:根据正六边形的一个内角为120°,可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角,继而可求出这个正多边形的边数.
解答:解:两个正六边形结合,一个公共点处组成的角度为240°,
故如果要密铺,则需要一个内角为120°的正多边形,
而正六边形的内角为120°,
故答案为:6.
点评:此题考查了平面密铺的知识,解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一个内角的度数,有一定难度.
 
例13 (2012•无锡)如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C、D的坐标分别为(1,0)和(2,0).若在无滑动的情况下,将这个六边形沿着x轴向右滚动,则在滚动过程中,这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中,会过点(45,2)的是点   .

考点:正多边形和圆;坐标与图形性质;旋转的性质。
专题:规律型。
分析:先连接A′D,过点F′,E′作F′G⊥A′D,E′H⊥A′D,由正六边形的性质得出A′的坐标,再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论.
解答:解:如图所示:
当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′,连接A′D,点F′,E′作F′G⊥A′D,E′H⊥A′D,
∵六边形ABCD是正六边形,
∴∠A′F′G=30°,
∴A′G= A′F′= ,同理可得HD= ,
∴A′D=2,
∵D(2,0)
∴A′(2,2),OD=2,
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周,
∴从点(2,2)开始到点(45,2)正好滚动43个单位长度,
∵ =7…1,
∴恰好滚动7周多一个,
∴会过点(45,2)的是点B.
故答案为:B.

点评:本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质,根据题意作出辅助线,利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键.
 
例14 (2012•绥化)长为20,宽为a的矩形纸片(10<a<20),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去,若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作停止.当n=3时,a的值为   .

考点:翻折变换(折叠问题)。
专题:规律型。
分析:首先根据题意可得可知当10<a<20时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20﹣a,第二次操作时正方形的边长为20﹣a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a,2a﹣20.然后分别从20﹣a>2a﹣20与20﹣a<2a﹣20去分析求解,即可求得答案.
解答:解:由题意,可知当10<a<20时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20﹣a,
所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a,2a﹣20.
此时,分两种情况:
①如果20﹣a>2a﹣20,即a<40,那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20.
则2a﹣20=(20﹣a)﹣(2a﹣20),解得a=12;
②如果20﹣a<2a﹣20,即a> ,那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a.
则20﹣a=(2a﹣20)﹣(20﹣a),解得a=15.
∴当n=3时,a的值为12或15.
故答案为:12或15.
点评:此题考查了折叠的性质与矩形的性质.此题难度较大,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用,注意折叠中的对应关系.
考点六:猜想数字求和

例16 (2012•黄石)“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050,今天我们可以将高斯的做法归纳如下:
令 S=1+2+3+…+98+99+100 ①
S=100+99+98+…+3+2+1 ②
①+②:有2S=(1+100)×100 解得:S=5050
请类比以上做法,回答下列问题:
若n为正整数,3+5+7+…+(2n+1)=168,则n=   .

考点:有理数的混合运算。
专题:规律型。
分析:根据题目提供的信息,列出方程,然后求解即可.
解答:解:设S=3+5+7+…+(2n+1)=168①,
则S=(2n+1)+…+7+5+3=168②,
①+②得,2S=n(2n+1+3)=2×168,
整理得,n2+2n﹣168=0,
解得n1=12,n2=﹣14(舍去).
故答案为:12.
点评:本题考查了有理数的混合运算,读懂题目提供的信息,表示出这列数据的和并列出方程是解题的关键.

四、真题演练
一.选择题
1.(2012•自贡)一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动,第一次跳动到OM的中点M3处,第二次从M3跳到OM3的中点M2处,第三次从点M2跳到OM2的中点M1处,如此不断跳动下去,则第n次跳动后,该质点到原点O的距离为(  )

 A. B. C. D.

考点:规律型:点的坐标。
分析:根据题意,得第一次跳动到OM的中点M3处,即在离原点的 处,第二次从M3点跳动到M2处,即在离原点的( )2处,则跳动n次后,即跳到了离原点的 处.
解答:解:由于OM=1,
所有第一次跳动到OM的中点M3处时,OM3= OM= ,
同理第二次从M3点跳动到M2处,即在离原点的( )2处,
同理跳动n次后,即跳到了离原点的 处,
故选D.
点评:本题主要考查点的坐标,这是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.解答本题的关键是找出各个点跳动的规律,此题比较简单.
 
 
2.(2012•鄂州)在平面坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2012个正方形的面积为(  )

 A. B.
C. D.

考点:相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质;正方形的性质。
专题:规律型。
分析:首先设正方形的面积分别为S1,S2…S2012,由题意可求得S1的值,易证得△BAA1∽△B1A1A2,利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质,即可求得S2的值,继而求得S3的值,继而可得规律:Sn=5×( )2n﹣2,则可求得答案.
解答:解:∵点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2),
∴OA=1,OD=2,
设正方形的面积分别为S1,S2…S2012,
根据题意,得:AD∥BC∥C1A2∥C2B2,
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x,
∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°,
∴△BAA1∽△B1A1A2,
在直角△ADO中,根据勾股定理,得:AD= = ,
∴AB=AD=BC= ,
∴S1=5,
∵∠DAO+∠ADO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°,
∴∠ADO=∠BAA1,
∴tan∠BAA1= = = ,
∴A1B= ,
∴A1B=A1C=BC+A1B= ,
∴S2= ×5=5×( )2,
∴ = = ,
∴A2B1= × = ,
∴A2C1=B1C1+A2B1= + = = ×( )2,
∴S3= ×5=5×( )4,
由此可得:Sn=5×( )2n﹣2,
∴S2012=5×( )2×2012﹣2=5×( )4022.
故选D.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识.此题难度较大,解题的关键是得到规律Sn=5×( )2n﹣2.
3.(2012•镇江)边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形(如图),…,按此方式依次操作,则第6个正六边形的边长为(  )

 A. B.
C. D.

考点:等边三角形的判定与性质。
专题:规律型。
分析:连接AD、DB、DF,求出∠AFD=∠ABD=90°,根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°,求出AD∥EF∥GI,过F作FZ⊥GI,过E作EN⊥GI于N,得出平行四边形FZNE得出EF=ZN= a,求出GI的长,求出第一个正六边形的边长是 a,是等边三角形QKM的边长的 ;同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的 ;求出第五个等边三角形的边长,乘以 即可得出第六个正六边形的边长.
解答:解:连接AD、DF、DB,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠ABC=∠BAF=∠∠AFE,AB=AF,∠E=∠C=120°,EF=DE=BC=CD,
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°,
∵∠AFE=∠ABC=120°,
∴∠AFD=∠ABD=90°,
在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△△ABD≌Rt△AFD,
∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°,
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°,
∴AD∥EF,
∵G、I分别为AF、DE中点,
∴GI∥EF∥AD,
∴∠FGI=∠FAD=60°,

∵六边形ABCDEF是正六边形,△QKM是等边三角形,
∴∠EDM=60°=∠M,
∴ED=EM,
同理AF=QF,
即AF=QF=EF=EM,
∵等边三角形QKM的边长是a,
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是 a,即等边三角形QKM的边长的 ,
过F作FZ⊥GI于Z,过E作EN⊥GI于N,
则FZ∥EN,
∵EF∥GI,
∴四边形FZNE是平行四边形,
∴EF=ZN= a,
∵GF= AF= × a= a,∠FGI=60°(已证),
∴∠GFZ=30°,
∴GZ= GF= a,
同理IN= a,
∴GI= a+ a+ a= a,即第一个等边三角形的边长是 a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第二个正六边形的边长是 × a;
同理第第二个等边三角形的边长是 × a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第三个正六边形的边长是 × × a;
同理第三个等边三角形的边长是 × × a,第四个正六边形的边长是 × × × a;
第四个等边三角形的边长是 × × × a,第五个正六边形的边长是 × × × × a;
第五个等边三角形的边长是 × × × × a,第六个正六边形的边长是 × × × × × a,
即第六个正六边形的边长是 × a,
故选A.

点评:本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用,能总结出规律是解此题的关键,题目具有一定的规律性,是一道有一定难度的题目.
二.填空题 

4.(2012•天门)如图,线段AC=n+1(其中n为正整数),点B在线段AC上,在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时,△AME的面积记为S1;当AB=2时,△AME的面积记为S2;当AB=3时,△AME的面积记为S3;…;当AB=n时,△AME的面积记为Sn.当n≥2时,Sn﹣Sn﹣1=   .

考点:整式的混合运算。
专题:规律型。
分析:方法一:根据连接BE,则BE∥AM,利用△AME的面积=△AMB的面积即可得出Sn= n2,Sn﹣1= (n﹣1)2= n2﹣n+ ,即可得出答案.
方法二:根据题意得出图象,根据当AB=n时,BC=1,得出Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM,得出S与n的关系,进而得出当AB=n﹣1时,BC=2,Sn﹣1= n2﹣n+ ,即可得出Sn﹣Sn﹣1的值.
解答:解:方法一:连接BE,
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,
∴BE∥AM,
∴△AME与△AMB同底等高,
∴△AME的面积=△AMB的面积,
∴当AB=n时,△AME的面积记为Sn= n2,
Sn﹣1= (n﹣1)2= n2﹣n+ ,
∴当n≥2时,Sn﹣Sn﹣1= ,
故答案为: ;
方法二:如图所示:延长CE与NM,交于点Q,
∵线段AC=n+1(其中n为正整数),
∴当AB=n时,BC=1,
∴当△AME的面积记为:
Sn=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM,
=n(n+1)﹣ ×1×(n+1)﹣ ×1×(n﹣1)﹣ ×n×n,
= n2,
当AB=n﹣1时,BC=2,
∴当△AME的面积记为:
Sn﹣1=S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM,
=(n+1)(n﹣1)﹣ ×2×(n+1)﹣ ×2×(n﹣3)﹣ ×(n﹣1)(n﹣1),
= n2﹣n+ ,
∴当n≥2时,Sn﹣Sn﹣1= n2﹣( n2﹣n+ )=n﹣ = ,
故答案为: .


点评:此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质,根据已知得出正确图形,得出S与n的关系是解题关键.
 
 
 
 
 
6.(2012•威海)如图,在平面直角坐标系中,线段OA1=1,OA1与x轴的夹角为30°,线段A1A2=1,A2A1⊥OA1,垂足为A1;线段A2A3=1,A3A2⊥A1A2,垂足为A2;线段A3A4=1,A4A3⊥A2A3,垂足为A3;…按此规律,点A2012的坐标为   .

考点:规律型:点的坐标。
专题:规律型。
分析:过点A1作A1B⊥x轴,作A1C∥x轴A2C∥y轴,相交于点C,然后求出点A1的坐标,以及A1C、A2C的长度,并出A2、A3、A4、A5、A6的坐标,然后总结出点的坐标的变化规律,再把2012代入规律进行计算即可得解.
解答:解:如图,过点A1作A1B⊥x轴,作A1C∥x轴A2C∥y轴,相交于点C,
∵OA1=1,OA1与x轴的夹角为30°,
∴OB=OA1•cos=1× = ,
A1B=OA1•sin30°=1× = ,
∴点A1的坐标为( , ),
∵A2A1⊥OA1,OA1与x轴的夹角为30°,
∴∠OA1C=30°,∠A2A1C=90°﹣30°=60°,
∴∠A1A2C=90°﹣60°=30°,
同理可求:A2C=OB= ,A1C=A1B= ,
所以,点A2的坐标为( ﹣ , + ),
点A3的坐标为( ﹣ + , + + ),即( ﹣ , +1),
点A4的坐标为( ﹣ ﹣ , +1+ ),即( ﹣1, +1),
点A5的坐标为( ﹣1+ , +1+ ),即( ﹣1, + ),
点A6的坐标为( ﹣1﹣ , + + ),即( ﹣ , + ),
…,
当n为奇数时,点An的坐标为( ﹣ , + ),
当n为偶数时,点An的坐标为( ﹣ , + ),
所以,当n=2012时, ﹣ =503 ﹣503, + =503 +503,
点A2012的坐标为(503 ﹣503,503 +503).
故答案为:(503 ﹣503,503 +503).

点评:本题考查了点的坐标的规律变化问题,作出辅助线,求出各点的横坐标与纵坐标的规律变化的数值,然后依次写出前几个点的坐标,根据坐标与点的序号的特点找出点的坐标的通式是解题的关键.
 
 
7.(2012•湖州)如图,将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形,若 = ,则△ABC的边长是   .

考点:菱形的性质;等边三角形的性质。
专题:规律型。
分析:设正△ABC的边长为x,根据等边三角形的高为边长的 倍,求出正△ABC的面积,再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线,然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积,然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解.
解答:解:设正△ABC的边长为x,则高为 x,
S△ABC= x• x= x2,
∵所分成的都是正三角形,
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x﹣ ,较短的对角线为( x﹣ ) = x﹣1,
∴黑色菱形的面积= ( x﹣ )( x﹣1)= (x﹣2)2,
∴ = = ,
整理得,11x2﹣144x+144=0,
解得x1= (不符合题意,舍去),x2=12,
所以,△ABC的边长是12.
故答案为:12.
点评:本题考查了菱形的性质,等边三角形的性质,熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键,本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程.

8.(2012•泰安)如图,在平面直角坐标系中,有若干个横坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)…根据这个规律,第2012个点的横坐标为   .

考点:点的坐标。
专题:规律型。
分析:观察图形可知,以最外边的正方形边长上的点为准,点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方,并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数,纵坐标为0结束,当右下角的点横坐标是偶数时,以横坐标为1,纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束,根据此规律解答即可.
解答:解:根据图形,以最外边的正方形边长上的点为准,点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方,
例如:右下角的点的横坐标为1,共有1个,1=12,
右下角的点的横坐标为2时,共有4个,4=22,
右下角的点的横坐标为3时,共有9个,9=32,
右下角的点的横坐标为4时,共有16个,16=42,

右下角的点的横坐标为n时,共有n2个,
∵452=2025,45是奇数,
∴第2025个点是(45,0),
第2012个点是(45,13),
所以,第2012个点的横坐标为45.
故答案为:45.
点评:本题考查了点的坐标,观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键.
 
9.(2012•北京)在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点A(0,4),点B是x轴正半轴上的整点,记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m=3时,点B的横坐标的所有可能值是   ;当点B的横坐标为4n(n为正整数)时,m=   (用含n的代数式表示).

考点:点的坐标。
专题:规律型。
分析:根据题意画出图形,再找出点B的横坐标与△AOB内部(不包括边界)的整点m之间的关系即可求出答案.
解答:解:如图:

当点B在(3,0)点或(4,0)点时,△AOB内部(不包括边界)的整点为(1,1)(1,2)(2,1),共三个点,
所以当m=3时,点B的横坐标的所有可能值是3或4;
因为△AOB内部(不包括边界)的整点个数=[(点B的横坐标﹣1)×(点A的纵坐标﹣1)﹣3]÷2,
所以当点B的横坐标为4n(n为正整数)时,m=[(4n﹣1)×(4﹣1)﹣3]÷2=6n﹣3;
故答案为:3或4,6n﹣3.
点评:此题考查了点的坐标,关键是根据题意画出图形,找出点B的横坐标与△AOB内部(不包括边界)的整点m之间的关系,考查数形结合的数学思想方法.
 
10.(2012•佳木斯)如图,直线y=x,点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2,再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…按此作法进行去,点Bn的纵坐标为  (n为正整数).

考点:一次函数综合题。
专题:规律型。
分析:由A1(1,0),可知B1的横坐标为1,由于B1,B2,B3,..,Bn都在直线y=x上,可知B1,B2,B3,..,Bn各点的横坐标与纵坐标相等,即B1(1,1),由勾股定理得OB1= ,由此可得A2( ,0),则B2( , ),由勾股定理得OB2=2,则A3(2,0),则B3(2,2),…,由此得出一般结论.
解答:解:∵B1,B2,B3,…,Bn都在直线y=x上,
∴B1,B2,B3,…,Bn各点的横坐标与纵坐标相等,
由A1(1,0),得B1(1,1),
此时OB1= ,
可知,A2( ,0),则B2( , ),
同理可得B3(2,2),…,
则Bn( , ).
故答案为:( , ).
点评:本题考查了一次函数的综合运用.关键是明确直线y=x上点的横坐标与纵坐标相等特点,由易到难,由特殊到一般,得出规律.
11.(2012•鄂州)已知,如图,△OBC中是直角三角形,OB与x轴正半轴重合,∠OBC=90°,且OB=1,BC= ,将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍,使OB1=OC,得到△OB1C1,将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍,使OB2=OC1,得到△OB2C2,…,如此继续下去,得到△OB2012C2012,则m=   .点C2012的坐标是   .

考点:坐标与图形变化-旋转;解直角三角形。
专题:规律型。
分析:先解直角三角形求出∠BOC=60°,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出m的值,然后求出OC1、OC2、OC3、…、OCn的长度,再根据周角等于360°,每6个为一个循环组,求出点C2012是第几个循环组的第几个点,再根据变化规律写出点的坐标即可.
解答:解:∵∠OBC=90°,OB=1,BC= ,
∴tan∠BOC= = ,
∴∠BOC=60°,
∴OC=2OB=2×1=2,
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍,使OB1=OC,
∴m=2,
∴OC1=2OC=2×2=4=22,
OC2=2OC1=2×4=8=23,
OC3=2OC2=2×8=16=24,
…,
OCn=2n+1,
∴OC2012=22013,
∵2012÷6=335…2,
∴点C2012与点C2x在同一射线上,在x轴负半轴,坐标为(﹣22013,0).
故答案为:2,(﹣22013,0).

点评:本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转,解直角三角形,根据解直角三角形,以及30°角所对的直角边等于斜边的一半,求出m的值是解题的关键.
 
12.(2012•泸州)如图,n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,△B1C1M1的面积为S1,△B2C2M2的面积为S2,…△BnCnMn的面积为Sn,则Sn= .(用含n的式子表示)

考点:相似三角形的判定与性质。
专题:规律型。
分析:由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,即可求得△B1C1Mn的面积,又由BnCn∥B1C1,即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn,然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,求得答案.
解答:解:∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1,M2,M3,…Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,
∴S1= ×B1C1×B1M1= ×1× = ,
S△B1C1M2= ×B1C1×B1M2= ×1× = ,
S△B1C1M3= ×B1C1×B1M3= ×1× = ,
S△B1C1M4= ×B1C1×B1M4= ×1× = ,
S△B1C1Mn= ×B1C1×B1Mn= ×1× = ,
∵BnCn∥B1C1,
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn,
∴S△BnCnMn:S△B1C1Mn=( )2=( )2,
即Sn: = ,
∴Sn= .
故答案为: .
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式.此题难度较大,注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键.
 
13.(2012•衡阳)观察下列等式
①sin30°= cos60°=
②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=

根据上述规律,计算sin2a+sin2(90°﹣a)=   .

考点:互余两角三角函数的关系。
专题:规律型。
分析:根据①②③可得出规律,即sin2a+sin2(90°﹣a)=1,继而可得出答案.
解答:解:由题意得,sin230°+sin2(90°﹣30°)=1;
sin245°+sin2(90°﹣45°)=1;
sin260°+sin2(90°﹣60°)=1;
故可得sin2a+sin2(90°﹣a)=1.
故答案为:1.
点评:此题考查了互余两角的三角函数的关系,属于规律型题目,注意根据题意总结,另外sin2a+sin2(90°﹣a)=1是个恒等式,同学们可以记住并直接运用.

14.(2012•东营)在平面直角坐标系xOy中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=kx+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),A2( ),那么点An的纵坐标是   .

考点:一次函数综合题。
专题:代数几何综合题;规律型。
分析:利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式,再求出直线与x轴、y轴的交点坐标,求出直线与x轴的夹角的正切值,分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线,然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半,利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线,即可得到各点的纵坐标的规律.
解答:解:∵A1(1,1),A2( , )在直线y=kx+b上,
∴ ,
解得 ,
∴直线解析式为y= x+ ,
如图,设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M,
当x=0时,y= ,
当y=0时, x+ =0,解得x=﹣4,
∴点M、N的坐标分别为M(0, ),N(﹣4,0),
∴tan∠MNO= = = ,
作A1C1⊥x轴与点C1,A2C2⊥x轴与点C2,A3C3⊥x轴与点C3,
∵A1(1,1),A2( , ),
∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2× =2+3=5,
tan∠MNO= = = ,
∵△B2A3B3是等腰直角三角形,
∴A3C3=B2C3,
∴A3C3= =( )2,
同理可求,第四个等腰直角三角形A4C4= =( )3,
依次类推,点An的纵坐标是( )n﹣1.
故答案为:( )n﹣1.

点评:本题是对一次函数的综合考查,主要利用了待定系数法求函数解析式,等腰直角三角形斜边上的高线就是斜边上的中线,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及正切的定义,规律性较强,注意指数与点的脚码相差1.
 
15.(2012•绍兴)如图,矩形OABC的两条边在坐标轴上,OA=1,OC=2,现将此矩形向右平移,每次平移1个单位,若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点,它们的纵坐标之差的绝对值为0.6,则第n次(n>1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 (用含n的代数式表示)

考点:反比例函数综合题。
分析:可设反比例函数解析式为y= ,根据第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点,它们的纵坐标之差的绝对值为0.6,可分两种情况:①与BC,AB平移后的对应边相交;②与OC,AB平移后的对应边相交;得到方程求得反比例函数解析式,再代入第n次(n>1)平移的横坐标得到矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值.
解答:解:设反比例函数解析式为y= ,则
①与BC,AB平移后的对应边相交;
与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为(2,1.4),
则1.4= ,
解得k=2.8= ,
故反比例函数解析式为y= .
则第n次(n>1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为: ﹣ = ;
②与OC,AB平移后的对应边相交;
k﹣ =0.6,
解得k= .
故反比例函数解析式为y= .
则第n次(n>1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为: ﹣ = .
故第n次(n>1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 或 .
故答案为: 或 .
点评:考查了反比例函数综合题,本题的关键是根据第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点,它们的纵坐标之差的绝对值为0.6,分①与BC,AB平移后的对应边相交;②与OC,AB平移后的对应边相交;两种情况讨论求解.
 
 
16.(2012•黑龙江)如图所示,在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…,过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y= 的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…,并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…,按此作法进行下去,则Sn的值为 n为正整数).

考点:反比例函数综合题。
分析:根据反比例函数y= 中k的几何意义再结合图象即可解答.
解答:解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,S= |k|=2.
所以S1=2,S2= S1=1,S3= S1= ,S4= S1= ,S5= S1= .
依次类推:Sn的值为 .
故答案是: .
点评:主要考查了反比例函数y= 中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k|.
17.(2012•铁岭)如图,点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点,连接A1F、B1G、C1H、D1E得四边形A2B2C2D2,以此类推得四边形A3B3C3D3…,若菱形A1B1C1D1的面积为S,则四边形AnBnCnDn的面积为 .

考点:三角形中位线定理;菱形的性质。
专题:规律型。
分析:由E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点,得到A1H=C1F,又A1H∥C1F,利用一组边长平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形A1HC1F为平行四边形,根据平行线间的距离相等及平行四边形与三角形的面积公式,可得出四边形A1HC1F的面积等于△HB1C1面积的2倍,等于△A1D1F面积的2倍,而这三个的面积之和为菱形的面积S,可得出四边形A1HC1F面积为菱形面积S的一半,再由平行线等分线段定理得到A2为A1D2的中点,C2为C1B2的中点,B2为B1A2的中点,D2为D1C2的中点,利用三角形的中位线定理得到HB2= A1A2,D2F= C1C2,可得出A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形,且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等(设高为h),下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等(设A2D2=x),分别利用梯形的面积公式及平行四边形的面积公式表示出各自的面积,得出三个面积之比,可得出平行四边形A2B2C2D2的面积占三个图形面积的 ,即为四边形A1HC1F面积的 ,为菱形面积的 ,同理得到四边形A3B3C3D3的面积为菱形面积的( )2,以此类推,表示出四边形AnBnCnDn的面积即可.
解答:解:∵H为A1B1的中点,F为C1D1的中点,
∴A1H=B1H,C1F=D1F,
又A1B1C1D1为菱形,∴A1B1=C1D1,
∴A1H=C1F,又A1H∥C1F,
∴四边形A1HC1F为平行四边形,
∴S四边形A1HC1F=2S△HB1C1=2S△A1D1F,
又S四边形A1HC1F+S△HB1C1+S△A1D1F=S菱形A1B1C1D1=S,
∴S四边形A1HC1F= S,
又GD1=B1E,GD1∥B1E,
∴GB1ED1为平行四边形,
∴GB1∥ED1,又G为A1D1的中点,
∴A2为A1D2的中点,
同理C2为C1B2的中点,B2为B1A2的中点,D2为D1C2的中点,
∴HB2= A1A2,D2F= C1C2,
又A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形,且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等(设高为h),
下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等(设A2D2=x),
∴S梯形A1A2B2H=S梯形C1C2D2F= (x+ x)h= xh,S平行四边形A2B2C2D2=xh,
即S梯形A1A2B2H:S梯形C1C2D2F:S平行四边形A2B2C2D2=3:4:3,
又S梯形A1A2B2H+S梯形C1C2D2F+S平行四边形A2B2C2D2=S四边形A1HC1F,
∴S平行四边形A2B2C2D2= S四边形A1HC1F= S,
同理S四边形A3B3C3D3=( )2S,
以此类推得四边形AnBnCnDn的面积为( )n﹣1S或 .
故答案为:( )n﹣1S或 .

点评:此题考查了三角形的中位线定理,平行四边形的判定与性质,平行线等分线段定理,以及平行四边形与三角形面积的计算,利用了转化的数学思想,是一道规律型试题,灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键.
 
18.(2012•贵阳)如图,在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,∠An的度数为 .

考点:等腰三角形的性质;三角形的外角性质。
专题:规律型。
分析:先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律即可得出∠An的度数.
解答:解:∵在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,
∴∠BA1A= = =80°,
∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角,
∴∠CA2A1= = =40°;
同理可得,
∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°,
∴∠An= .
故答案为: .
点评:本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律是解答此题的关键.
 
 
19.(2012•鞍山)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=a,作斜边AB边中线CD,得到第一个三角形ACD;DE⊥BC于点E,作Rt△BDE斜边DB上中线EF,得到第二个三角形DEF;依此作下去…则第n个三角形的面积等于 .

考点:直角三角形斜边上的中线;三角形的面积;三角形中位线定理。
专题:规律型。
分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD,然后判定出△ACD是等边三角形,同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形,再根据后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形的边长的一半求出第n个三角形的边长,然后根据等边三角形的面积公式求解即可.
解答:解:∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴CD=AD,
∵∠A=60°,
∴△ACD是等边三角形,
同理可得,被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形,
∵CD是AB的中线,EF是DB的中线,…,
∴第一个等边三角形的边长CD=DB= AB=AC=a,
第二个等边三角形的边长EF= DB= a,

第n个等边三角形的边长为 a,
所以,第n个三角形的面积= × a×( • a)= .
故答案为: .
点评:本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等边三角形的判定与性质,三角形的面积判断出后一个三角形的边长是前一个三角形边长的一半,求出第n个等边三角形的边长是解题的关键.
 
20.(2012•湛江)如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH,如此下去….若正方形ABCD的边长记为a1,按上述方法所作的正方形的边长依次为a2,a3,a4,…,an,则an= .

考点:正方形的性质。
专题:规律型。
分析:求a2的长即AC的长,根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算,同理计算a3、a4.由求出的a2= a1,a3= a2…,an= an﹣1=( )n﹣1,可以找出规律,得到第n个正方形边长的表达式.
解答:解:∵a2=AC,且在直角△ABC中,AB2+BC2=AC2,
∴a2= a1= ,
同理a3= a2=2,
a4= a3=2 ,

由此可知:an=( )n﹣1a1=( )n﹣1,
故答案为:( )n﹣1
点评:本题考查了正方形的性质,以及勾股定理在直角三角形中的运用,考查了学生找规律的能力,本题中找到an的规律是解题的关键.

三.解答题(共13小题)
 
21.(2012•广东)观察下列等式:
第1个等式:a1= = ×(1﹣ );
第2个等式:a2= = ×( ﹣ );
第3个等式:a3= = ×( ﹣ );
第4个等式:a4= = ×( ﹣ );

请解答下列问题:
(1)按以上规律列出第5个等式:a5= ;
(2)用含有n的代数式表示第n个等式:an= = (n为正整数);
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.

考点:规律型:数字的变化类。
分析:(1)(2)观察知,找第一个等号后面的式子规律是关键:分子不变,为1;分母是两个连续奇数的乘积,它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1.
(3)运用变化规律计算.
解答:解:根据观察知答案分别为:
(1) ; ;

(2) ; ;

(3)a1+a2+a3+a4+…+a100的
= ×(1﹣ )+ ×( ﹣ )+ ×( ﹣ )+ ×( ﹣ )+…+ ×
= (1﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= (1﹣ )
= ×
= .
点评:此题考查寻找数字的规律及运用规律计算.寻找规律大致可分为2个步骤:不变的和变化的;变化的部分与序号的关系.

 

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