九年级数学竞赛避免漏解的奥秘辅导教案

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“会而不对,对而不全”,这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误,提高解题周密性,避免漏解的奥秘在于:掌握分类讨论法,学会分类讨论.
分类讨论就是按照一定的标准,把研究对象分成几个部分或几种情况,然后逐个加以解决,最后予以总结作出结论的思想方法,其实质是化整为零、各个击破的转化策略.
解题时何时需要进行分类?一般来说,当问题包含的因素发生变化,问题结果也相应发生变化,我们就需要对这一关键因素分类讨论,怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏,每次分类必须保持同一的分类标准,多级讨论,逐级进行.
【例题求解】
【例1】 四条线段的长分别为9,5, ,1(其中 为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中 的两条线段(如图),则 可取值的个数为 .
( “信利杯”竞赛题)
注:初中数学常见的分类方法有:
(1)按定义、性质、法则、公式分类;
(2)对参数分类;
(3)按图形位置分类;
(4)按图形特征分类;
(5)按余数分类.
注:参数是较为常见的分类对象,因为参数的不同取值,可能导致不同的运算结果,或者必须使用不同的方法去解决,这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用.
【例2】 方程 的所有整数解的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(山东省选拔赛试题)
思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题,根据幂指数的意义,可将原问题分成三个并列的简单问题求解:(1)非零实数的零次幂等于1;(2)1的任何次幂等于1;(3) 的偶次幂等于1.


【例3】 试确定一切有理数 ,使得关于 的方程 有根且只有整数根.
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 根据方程定义, 是否为零影响方程的次数,这是质的不同,解法也不同,所以,应对r=0及 ≠0两种情况分类求解.

【例4】 已知一三角形纸片ABC,面积为25,BC边的长为10,∠B和∠C都为锐角,M为AB边上的一动点(M与点A、B不重合).过点M作MN∥BC,交AC于点N.设MN= .
(1)用 表示△AMN的面积S△AMN;
(2)用△AMN沿MN折叠,使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内),设点A落在平面BCNM内的点为A′,△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为 .①试求出 关于 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;②当 为何值时重叠部分的面积 最大,最大为多少?
(苏州市中考题)
思路点拨 折叠△AMN,A点位置不确定,可能在△ABC内或在BC边上或在△ABC外,故需按以上三种情况分别求出 关于 的函数关系式,进而求出 的最大值.

注:有关平面几何问题,经常按图形相互之间的位置进行分类,因为图形存在不同的位置关系,其解答结果可能不同,也可能需要使用不同的方法解决,初中平面几何按位置关系分类,最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系.
【例5】 已知⊙Ol与⊙O2外切,⊙Ol的半径R=2,设⊙O2的半径是r.
(1)如果⊙Ol与⊙O2的圆心距d=4,求r的值;
(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切线中有两条互相垂直,并且r≤R,求r的值.
(南京市中考题)
思路点拨 题中没有给出图形,题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直,情况不惟一,故应分类讨论.


注:中考压轴题分类讨论有以下常见情形:
(1)由点的不确定定引起的分类讨论;
(2)由图形全 等或相似的对应关 系的不确定性引起的分类讨论;
(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论.
学力训练
1.已知m为实数,如果函数 的图象与 轴只有一个交点,那么m的取值为 .
2.若实数 、 满足 , ,则 的值为 .
3.若半径为5和4的两个圆相交,且公共弦长为6,则它们的圆心距等于 .
4.已知⊙O和不在⊙O上的一点P,过P直线交⊙O于A、B点,若PA•PB=4,OP=5,则⊙O的半径为 .
5.和抛物线 只有一个公共点(-1,-1)的直线解析式为( )
A. B. C. 或 D.
6.若线段AB两端点到直线 的距离分别为4和8,则AB的中点到直线 的距离是( )
A.2 B.4 C.6 D.2或6
7.点A(-4,0),B(2,0)是 坐标平面上两定点,C是 的图象上的动点,则满足上述条件的直角△ABC可以画出( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
8.如图,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,那么这样的P点有( )
A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个


9.已知关于 的方程 .
(1)求证:无论 是取何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长 ,另两边长为 、 恰 好是这个方 程的两个根,求此三角形的周长.
(湖北赛区选拔赛试题)
10.已知:如图,抛物线C1经过A,B,C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E.
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)求四边形ABCD的面积;
(3)△AOB与△BDE是否相似,如果相似,请予以证明;如果 不相似,请说明理由;
(4)设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F,另一条抛物线C2经过点E(抛物线C2与抛物线C1不重合),且顶点为M(a,b),对称轴与x轴相交于点G,且以M,G,E为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形全等,求a,b的值(只需写出结果,不必写出解答过程)
(黄冈市中考题)

11.以O为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm和5cm,⊙O′与这两个圆都相切,则⊙O′的半径是 .
12.在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在 直线相交所得的锐角为50°,则底角B的大小为 .
13.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是 .
(北京市宣武区中考题)

14.已知点A(0,6),B(3,0),C(2,0),M(0,m),其中m<6,以M为圆心,MC为半径作圆,那么当m= 时,⊙M与直线AB相切.
15.关于 的方程 有有理根,求整数是的值.
(山东赛区选拔赛试题)
16.华鑫超市对顾客实行优惠购物,规定如下:
(1)若一次购物少于200元,则不予优惠;
(2)若一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠;
(3)若一次购物 超过500元,其中500元的部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠.
小明两次去该超市购物,分别付款198元与554元,现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,他需付款多少?
(江苏省竞赛题)
17.如图,已知:△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;
(2)当△PQC的 周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;
(3)试问:在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形 ?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.


18.已知关于 的方程 (q≥0)的两个实数根为 , 且 ≤ .
(1)试用含有 , 的代数式表示 和 ;
(2)求证: ≤1≤
(3)若以 , 为坐标的点M( , )在△ABC的三条边上运动,且△ABC顶点的坐标分别为A(1,2),B( ,1),C(1,1),问是否存在点M使 + = ,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(天津市中考题)
19.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示.
(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 ;写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式 .
(2)认定市场售价减去 种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/102㎏,时间单位:天)

参考答案

 

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