旋转

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第二十三章 旋转
本章小结
小结1 本章概述
在本章中,我们将学习生活中的旋转现象.掌握旋转的有关概念,理解旋转的性质、特点,并会进行简单的旋转作图;掌握中心对称及中心对称图形的概念、作图方法及直角坐标系中对称点的作法;利用旋转、中心对称进行简单的图案设计和认识图形是如何变换而来的.旋转和中心对称是现实生活中广泛存在的现象,它们既是探索图形某些性质的必要手段,也是解决现实生活中的具体问题及进行数学活动、变换的重要工具.有关旋转的性质、作图是后面学习几何图形(如圆)的性质、位置的确定等知识的重要依据之一,也是近年中考的易考查点.
本章涉及的主要概念有:旋转、旋转中心、旋转角、中心对称和中心对称图形,主要规律有:旋转中心、旋转角的找法,对称中心及对称点的找法以及找关于原点对称的点的坐标的规律.
小结2 本章学习重难点
【本章重点】理解旋转的性质、中心对称的概念及其性质,掌握平行四边形是中心对称图形,并掌握常见的中心对称图形.
【本章难点】灵活运用旋转、中心对称图形的性质,掌握关于原点对称的点的坐标的特征,能够利用旋转、平移、轴对称等知识进行图案设计.
小结3 学法指导
l.注重联系实际.通过实例加深对旋转变换和中心对称图形的认识.
2.注重探索结论,许多图形可以由基本图形旋转而成.为了更好地认识图形,要善于探索、发现图形之间的变换关系.探索、发现图形之间的变换关系有助于运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计.
3.注重与已学图形变换的联系.平移变换、轴对称变换是前面已学过的全等变换,学习旋转变换时可类比平移变换和轴对称变换.

知识网络结构图

专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 旋转与平移的简单应用
【专题解读】 有关旋转、平移的知识是近几年中考的一个热点,旋转和平移这两种交换方式不仅贴近生活,而且使人们享受了图形变化的美,命题新颖,内涵丰富,既有选择题、填空题,也有操作设计、解答方面的命题.
例1 以如图23-88(1)所示的图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°,再按顺时针方向旋转180°得到的图形是如图23-88(2)所示的( )

【分析】动手做一做,很快就可以作出正确的判断,故选A
【解题策略】关于旋转、平移概念的问题的解题关键是正确并灵活运用相关知识
例2 如图23—89所示,直线y= 与x轴、y轴分别交于A,B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′,则点B′的坐标是( )
A.(3,4) B.(4.5)
C.(7,4) D.(7,3)
分析 由y= 与x轴、y轴分别交于A,B两点,可知A(3,0),B(0,4),所以OA=3,OB=4,由旋转知O′A=OA=3,O′B′=OB=4.因为△AOB绕点A旋转90°,所以∠OAO′=90°,所以O′B′∥OA,所以B′的纵坐标等于O′的纵坐标3,由OA=3,O′B′=4,可知B′的横坐标为7,所以B′的坐标为(7,3).故选D.
【解题策略】本题的解题关键是找出0′B′∥OA这一条件,这是找出B′点坐标的基础.
例3如图23-90所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(顶点都是格点),将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1.
(1)在正方形网格中,作出△AB1C1;(不要求写作法)
(2)设网格小正方形的边长为1 cm,用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的
图形,然后求出它的面积.(结果保留π)

分析;本题考查旋转作图的方法,作出旋转后的图形,首先要确定旋转后关键点的位置,然后把关键点连起来即可.
解:(1)如图23—90所示的△AB1C1即为所求.
(2)线段BC所扫过的图形如图23—91所示的阴影部分.
根据网格图知AB=4,BC=3,所以AC=5.
线段BC所扫过的图形的面积S= π(AC2—AB2)= (cm2).
例4 某产品的标志图案如图23-92(1)所示,现要在所给的图23-92(2)中把A,B,C三个菱形通过一种或几种变换,使之变成与图23-92(1)一样的图案.

(1)请你在图23-92(2)中作出变换后的图案(最终图案用实线表示);
(2)你所用的变换方法是 (在以下变换方法中选择一种正确的填到横线上).
①将菱形B向上平移;②将菱形B绕点O旋转120°;③将菱形B绕点O旋转180°.
分析 本题是一道有关平移和旋转的作图题,首选要确定作法,再动手作图,问题(2)是一道开放性题目.
解:(1)如图23—92(3)所示.
(2)①或③
专题2旋转变换在几何中的应用
【专题解读】 旋转变换在几何中的应用问题一般综合性较强,常与三角形、四边形、平面直角坐标系、函数等知识综合考查.
例5 如图23-93所示,在□ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= ,对角线AC,BD交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)求证当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由,并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
分析 本题综合考查平行四边形的性质与旋转的相关性质.
证明:(1)当∠AOF=90°时,AB∥EF.
∵AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形.
解:(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∵AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠EOC,
∴△AOF≌△COE,∴AF=EC.
(3)四边形BEDF可能是菱形,理由如下:
由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,
∴EF与BD互相平分.
∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,AC= ,
∴OA=1=AB,又AB⊥AC,
∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,
∴AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.
专题3 中心对称在几何中的应用
【专题解读】 中心对称在几何中主要应用于图案设计问题或与平行四边形有关的证明或计算题.
例6 有一个圆O和一个平行四边形ABCD,请你画一条直线,同时把这两个图形分别分成面积相等的两部分.
分析 平行四边形和圆都是中心对称图形.因为过中心对称图形中心的任意一条直线都可以把这个中心对称图形的面积平分,所以所要画的直线只需同时过两个图形的对称中心即可.
解:如图23—94所示,平行四边形的两条对角线交于M点,则M点就是平行四边形的中心,画直线OM,则直线OM同时把两个图形分别分成了面积相等的两部分.
【解题策略】 本题应用了过中心对称图形中心的直线平分图形的面积这一性质.
例7 如图23—95所示,过口ABCD对角线的交点0作两条互相垂直的直线EF,GH,分别与口ABCD的四条边交于E,F和G,H,求证四边形EGFH为菱形.
分析 因为四边形EGFH的对角线互相垂直,所以欲证它是菱形,只需证它是平行四边形.因为E,F与G,H分别是以O为对称中心的对称点,所以由中心对称的性质可得OE=OF, OG=OH,于是问题得以证明.
证明:∵O是□ABCD的对称中心,GH经过O点与BC交于G,与AD交于H,
∴G,H是以O为对称中心的对称点.
根据中心对称图形的对称点的连线经过对称中心,并且被对称中心平分这
一性质可得OG=OH.
同理可以得到OE=OF.
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵EF⊥GH,∴□EGFH为菱形.
【解题策略】本题利用中心对称的性质得出了四边形EGFH的对角线互相平分,大大简化了证明过程.
二、规律方法专题
专题4 综合运用旋转、平移、轴对称知识探索“辅助线”的作法
【专题解读】 在几何中,经常需要作辅助线,如何作辅助线是急需掌握的,仔细研究题目中的已知、求解及图形的特征,对辅助线的发现大有帮助.运用旋转、平移、轴对称等知识,可以使复杂的问题变得简单,达到事半功倍的效果.
例8 如图23-96所示,在△ABC中,M是BC的中点,E,F分别在AC,AB上,且ME⊥MF,求证EF<BF+CE.
分析 要证明EF,BF,CE三条线段的不等关系,需运用三角形三边关系,但它们不在同一个三角形中,由于BM=MC,故可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM,把三条线段转化到同一个三角形中,可证EN<CN+EC.
证明:∵BM=MC,
∴将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM,连接EN,
∴△BFM≌△CNM,∴BF=CN,FM=MN.
又∵ME⊥MF,∴EN=EF.
在△ENC中,EN<NC+CE,∴EF<BF+CE.
例9 如图23—97所示,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求BC的长.
分析 由AB=5,AC=13,联想到勾股数5,12,13,故将△ADC绕点D旋转180°,得到△EDB,则△ADC≌△EDB,所以BE=AC=13,AE=12,AB=5,由勾股定理的逆定理可得△BAE为直角三角形,再利用勾股定理求出BD的长,从而可求得BC的长.
解:将△ADC绕点D旋转l80°,得到△EDB,则△ADC≌△EDB,
∴AC=BE,BD=DC,AD=DE= AE=6,∴AE=12.
在△ABE中,AB2+AE2=52+122=169,BE2=AC2=132=169,
∴AB2+AE2=BE2,∴∠BAE=90°.
在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=52+62=61,
∴BD= ,∴BC=2BD=2 .
【解题策略】 这里利用中点构造了全等三角形,即把△ADC旋转180°得到的,通过全等三角形进行边的等量代换,进而把已知的三边转化到同一个三角形中去,这是几何证明题常用的方法.
专题5 利用旋转设计方案
例10 李大伯有一块正三角形的菜地,如图23—98所示,现将其分给三个儿子耕种.点O处是三家合用的工具、肥料库,所以点O必须是三家地界的交汇处,要求每人分得的菜地相等.能否用旋转的方法将△ABC分成形状相同且面积相等的三部分?如果能,请设计出分割方案,并画出示意图.
分析 欲分成形状相同且面积相等的三部分,可考虑将正三角形划分成旋转三次(相同的方式)都与自己重合的图形.
解:能将△ABC分成形状相同且面积相等的三部分,方案有无数个.

①设O是旋转中心,连接OA,OB,OC,即可得到方案1.如图23—99①所示.
②在边AC上任取一点D,连接OD,将点D绕点O逆时针旋转120°,240°,
得到D′,D″,连接OD′,OD″,得方案2,如图23—99②所示.
③方法同方案2,在AC上任取一点D,在O和D之间任意画曲线,将曲线OD,绕点O逆时针依次旋转120°,240°,得OD′,OD″,如图23—99③所示.
【解题策略】 本题用了旋转对称图形的性质,旋转对称图形是指一图形绕一点旋转一个角度后能与自身重合,将图形三等分,则每次旋转 .
三、思想方法专题
专题6 从特殊到一般的思想
【专题解读】 对于图形的变换,常常由几种特殊情况总结一般的规律,进而解决问题.
例11 如图23-100所示,△ABC和△CDE均为等边三角形.

(1)如图23-100(1)所示,AD=BE成立吗?
(2)如果将△CDE绕点C按顺时针方向旋转至图23-100(2)~(7)的位置时, AD=BE成立吗?为什么?
分析 本题主要考查旋转变换过程中不同位置时相对应的图形,由于是两个等边三角形组成的图形,所以在旋转过程中确立了很多相等关系.
解:(1)∵△ABC和△DEC均为等边三角形,
∴AC=BC,DC=EC,
∴AC-DC=BC-EC,即AD=BE.
(2)将△CDE绕C点旋转到图(2)~(7)时,AD=BE仍成立.
理由:在图(2)(3)(4)(6)(7)中,依题可知△BCE绕点C顺时针旋转60°,可得△ACD,
故AD=BE成立.
在图(5)中,由于A,C,D和B,C,E分别共线,且AC=BC,CD=CE,故AC
+CD=BC+CE,即AD=BE仍成立.
专题7 转化思想
【专题解读】 运用转化思想可将旋转问题转化为已知几何图形问题加以解决,降低问题的难度.
例12 如图23—101所示,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=a,以C为中心将△ABC旋转θ角到△A′B′C′的位置,点B恰好落在A′B′上,求旋转角θ的大小(用a表示).
分析 本题主要考查旋转的特征、三角形内角和定理及等腰三角形中等边对等角的综合应用.由旋转知识得BC=B′C′,故∠B′= ,而∠A′=∠A=a,∠A′CB′=∠ACB=90°,利用三角形的内角和很容易求出θ与a之间的关系,进而可用a表示θ.
解:∵△ABC绕点C旋转得到△A′B′C′,
∴∠A′CB′=∠ACB=90°,
在△BB′C中,∠BCB′=θ,又BC=B′C,
∠B= ,
在△A′B′C中,∠A′+∠B′+∠A′CB′一180°
a+ +90°=180.∴θ=2a.
专题8 数形结合思想
【专题解读】 解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时,最好的办法是运用数形结合思想结合几何图形进行解题.
例13 如图23—102所示,在平面直角坐标系xOy中, A点的坐标为(3,4),将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′,则点A′的坐标是 ( )
A.(-4,3) B.(-3,4)
C.(3,-4) D.(4,-3)
分析 本题主要考查旋转知识与平面直角坐标系知识的综合应用.由题可知OA绕原点O顺时针旋转90°,得到0A′,则点A′应在第四象限,故排除A,B选项,连接AA′,由于∠AOA′=90°,故△AOA′为等腰直角三角形,因此可求出A′点的坐标为(4,-3).故选D.
【解题策略】 旋转知识与平面直角坐标系相关知识的综合应用,应注意点所在的象限及长度相等的对应线段.
2011中考真题精选
一、选择题
1. (2011•南通)下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A、 B、
C、 D、
考点:中心对称图形;轴对称图形。
分析:结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析
解答:解:A项是中心对称图形,不是轴对称图形,故本项错误,B项为中心对称图形,不是轴对称图形,故本项错误,C项为中心对称图形,也是轴对称图形,故本项正确,
D项为轴对称图形,不是中心对称图形,故本项错误故答案选择C.
点评:本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义,解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义
2. (2011江苏扬州,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠A=30º,BC=2,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△EDC,此时,点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )

A. 30,2 B.60,2 C. 60, D. 60,
考点:旋转的性质;含30度角的直角三角形。
专题:创新题型;探究型。
分析:先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数,再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状,进而得出∠DCF的度数,由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线,由三角形的面积公式即可得出结论.
解答:解:∵△ABC是直角三角形,,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴∠B=60°,AC=BC×cot∠A=2× =2 ,AB=2BC=4,
∵△EDC是△ABC旋转而成,∴BC=CD=BD= AB=2,
∵∠B=60°,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=60°,∴∠DCB=30°,∠DFC=90°,即DE⊥AC,∴DE∥BC,
∵BD= AB=2,
∴DF是△ABC的中位线,
∴DF= BC= ×2=1,CF= AC= ×2 = ,∴S阴影= DF×CF= × = .
故选C.
点评:本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式,熟知图形旋转的性质是解答此题的关键,即:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.
3. (2011•宁夏,8,3分)如图,△ABO的顶点坐标分别为A(1,4)、B(2,1)、O(0,0),如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△A′B′O′,那么点A′、B′的对应点的坐标是(  )

A、A′(﹣4,2),B′(﹣1,1)B、A′(﹣4,1),B′(﹣1,2)
C、A′(﹣4,1),B′(﹣1,1)D、A′(﹣4,2),B′(﹣1,2)
考点:坐标与图形变化-旋转。
专题:探究型。
分析:根据图形旋转的性质对四个答案用排除法进行解答即可.
解答:解:∵图形旋转后大小不变,
∴OA=OA′= = ,
∴A、D显然错误;
同理OB=OB′= = .
∴C错误.
故选D.
点评:本题考查的是图形旋转的性质,即图形旋转后其大小和形状不会发生变化.
4. (2011•台湾34,4分)如图1,有两全等的正三角形ABC,DEF,且D,A分别为△ABC,△DEF的重心.固定D点,将△DEF逆时针旋转,使得A落在 上,如图2所示.求图1与图2中,两个三角形重迭区域的面积比为何(  )

A、2:1B、3:2 C、4:3D、5:4
考点:旋转的性质;等边三角形的性质。
分析:设三角形的边长是x,则(1)中阴影部分是一个内角是60°的菱形,图(2)是个角是30°的直角三角形,分别求得两个图形的面积,即可求解.
解答:解:设三角形的边长是x,则高长是 .
图(1)中,阴影部分是一个内角是60°的菱形,AD= × = .
另一条对角线长是:2× × sin30°= x.
则阴影部分的面积是: × x• x= x2;
图(2)中,AD= × = .
是一个角是30°的直角三角形.
则阴影部分的面积= AD•sin30°•AD•cos30°= × x•× × x• = x2.
两个三角形重迭区域的面积比为: x2: x2=4:3.
故选C.
点评:本题主要考查了三角形的重心的性质,以及菱形、直角三角形面积的计算,正确计算两个图形的面积是解决本题的关键.
5. (2011天津,2,3分)下列汽车标志中,可以看作是中心对称图形的是(  )
A、 B、 C、 D、
考点:中心对称图形。
分析:根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°,与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形,分别判断得出即可.
解答:解:A.旋转180°,与原图形能够完全重合是中心对称图形;故此选项正确;
B.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形;故此选项错误;
C.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形;故此选项错误;
D.旋转180°,不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形;故此选项错误;
故选:A.
点评:此题主要考查了中心对称图形的性质,根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键.
6.(2010重庆,3,4分)下列图形中,是中心对称图形的是 ( )

A. B. C. D.
考点:中心对称图形
分析:根据中心对称图形的定义来判断:把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
解答:解:A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形;
B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合,所以这个图形是中心对称图形;
C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形;
D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合,所以这个图形不是中心对称图形.
故选B.
点评:本题主要考查中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
7. (2011湖北咸宁,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,□OABC的顶点A在 轴上,顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0),且将□OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是(  )

A、y=x+1B、     C、y=3x﹣3D、y=x﹣1
考点:待定系数法求一次函数解析式;平行四边形的性质;中心对称。
分析:首先根据条件l经过点D(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,求出E点坐标,然后设出函数关系式,再利用待定系数法把D,E两点坐标代入函数解析式,可得到答案.

解答:解:设D(1,0),
∵线l经过点D(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,
∴OD=OE=1,
∵顶点B的坐标为(6,4).
∴E(5,4)
设直线l的函数解析式是y=kx+b,
∵图象过D(1,0),E(5,4),
∴ ,
解得: ,
∴直线l的函数解析式是y=x﹣1.
故选D.
点评:此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,解题的关键是求出E点坐标.
8. (2011•贺州)如图,在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是(  )
A、把△ABC向右平移6格B、把△ABC向右平移4格,再向上平移1格
C、把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转,再右平移7格D、把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转,再右平移7格

考点:几何变换的类型。
专题:常规题型。
分析:观察图象可知,先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转,然后再向右平移即可得到.
解答:解:根据图象,△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同,向右平移7格就可以与△DEF重合.
故选D.
点评:本题考查了几何变换的类型,几何变换只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小,本题用到了旋转变换与平移变换,对识图能力要求比较高.
9.(2011•郴州)观察下列图案,既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  )
A、 B、
C、 D、
考点:中心对称图形;轴对称图形。
专题:几何图形问题。
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:解:A、不是轴对称图形,不符合题意,故本选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意,故本选项错误;
C、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意,故本选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意,故本选项错误.
故选C.
点评:本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识,要注意:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图形重合.
10. (2011•莱芜)以下多边形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A、正五边形B、矩形 C、等边三角形D、平行四边形
考点:中心对称图形;轴对称图形。
专题:几何图形问题。
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形;
B、是中心对称图形,也是轴对称图形;
C、不是中心对称图形,是轴对称图形.
D、是中心对称图形,也是轴对称图形;
故选B.
点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称折叠后可重合,判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
11. (2011•莱芜)观察如图,在下列四种图形变换中,该图案不包含的变换是(  )

A、平移B、轴对称 C、旋转D、位似
考点:几何变换的类型。
专题:常规题型。
分析:观察本题中图案的特点,根据对称、平移、旋转、位似的定义作答.
解答:解:A、图形的方向发生了改变,不符合平移的定义,本题图案不包含平移变换,故本选项符合题意;
B、有8条对称轴,本题图案包含轴对称变换,故本选项不符合题意;
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合,本题图案包含旋转变换,故本选项不符合题意;
D、符合位似图形的定义,本题图案包含位似变换,故本选项不符合题意.
故选A.
点评:考查图形的四种变换方式:对称、平移、旋转、位似.
对称有轴对称和中心对称,轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折,直线两旁的图形能够完全重合;中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合,它是旋转变换的一种特殊情况.
平移是将一个图形沿某一直线方向移动,得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同.
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换.
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点.观察时要紧扣图形变换特点,认真判断.
12. (2011山东青岛,4,3分)下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是(  )
A. B. C. D.
考点:轴对称图形;中心对称图形。
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形;
C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形;
D.是中心对称图形,也是轴对称图形.
故选D.
点评:此题将汽车标志与对称相结合,掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.
13. (2011泰安,3,3分)下列图形:

其中是中心对称图形的个数为(  )
A.1B.2 C.3D.4
考点:中心对称图形。
专题:图表型。
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解答:解:一图是轴对称图形,二图是中心对称图形,三图是轴对称图形,四图即是中心对称图形,也是周对称图形;
所以,中心对称图形的个数为2.
故选B.
点评:本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
14. (2011泰安,12,3分)若点A的坐标为(6,3)O为坐标原点,将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′,则点A′的坐标是(  )
A.(3,-6)B.(-3,6) C.(-3,-6)D.(3,6)
考点:坐标与图形变化-旋转。
专题:作图题。
分析:正确作出A旋转以后的A′点,即可确定坐标.
解答:解:由图知A点的坐标为(6,3),
根据旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图,
点A′的坐标是(3,-6).
故选A.

点评:本题考查了图形的旋转,抓住旋转的三要素:旋转中心O,旋转方向顺时针,旋转角度90°,通过画图得A′.
15. (2011,四川乐山,,7,3分)如图,直角三角板ABC的斜边AB=12cm,∠A=30°,将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A'B'C'的位置后,再沿CB方向向左平移,使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上,则三角板A'B'C'平移的距离为(  )

A.6cmB.4cm C.(6﹣ )cmD.( )cm
考点:相似三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;平移的性质;旋转的性质。
专题:计算题。
分析:如图,过B′作B′D⊥AC,垂足为B′,则三角板A'B'C'平移的距离为B′D的长,根据AB′=AC﹣B′C,∠A=30°,在Rt△AB′D中,解直角三角形求B′D即可.
解答:解:如图,过B′作B′D⊥AC,垂足为B′,
∵在Rt△ABC中,AB=12,∠A=30°,
∴BC= AB=6,AC=AB•sin30°=6 ,
由旋转的性质可知B′C=BC=6,
∴AB′=AC﹣B′C=6 ﹣6,
在Rt△AB′D中,∵∠A=30°,
∴B′D=AB′•tan30°=(6 ﹣6)× =(6﹣2 )cm.
故选C.

点评:本题考查了旋转的性质,30°直角三角形的性质,平移的问题.关键是找出表示平移长度的线段,把问题集中在小直角三角形中求解.
16. (2011四川泸州,2,2分)如图,该图形绕点O按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是(  )
A.72° B.108° C.144° D.216°

考点:旋转对称图形.
分析:该图形被平分成五部分,因而每部分被分成的圆心角是72°,并且圆具有旋转不变性,因而旋转72度的整数倍,就可以与自身重合.
解答:解:该图形被平分成五部分,旋转72度的整数倍,就可以与自身重合,因而A、C、D都正确,不能与其自身重合的是B.故选B.
点评:本题考查旋转对称图形的概念:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.
17. (2011四川攀枝花,2,3分)下列图形中,既不是轴对称图形,也不是中心对称图形的是(  )
A、 B、
C、 D、
考点:中心对称图形;轴对称图形。
分析:根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形性质即可判断出.
解答:解:A、不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项正确; B、是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误; C、是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误; D、是中心对称图形,但不是轴对称图形,故此选项错误.故选:A.
点评:此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.
18. (2011北京,3,4分)下列图形中,即是中心对称又是轴对称图形的是(  )
A.等边三角形B.平行四边形 C.梯形 D.矩形
考点:中心对称图形;轴对称图形。
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解,四个选项中,只有D选项既为中心对称图形又是轴对称图形
解答:解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误;
B.是不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项错误;
D.既是轴对称图形,又是中心对称图形.故本选项正确.
故选D.
点评:本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形的关键是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
19. (2011福建莆田,4,4分)在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.平行四边形 B.等边三角形 C.菱形 D.等腰梯形
考点:中心对称图形;轴对称图形.
专题:应用题.
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别对平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形进行分析即可得出结果.
解答:解:等边三角形、等腰梯形是轴对称图形,不是中心对称图形,
平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,
菱形是轴对称图形,也是中心对称图形.
故选C.
点评:本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,
图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合,比
较简单.
20. (2011福建龙岩,3,4分)下列图形中是中心对称图形的是( )
考点:中心对称图形。
分析:根据中心对称图形的定义进行解答,找到图形的对称中心.
解答:解:A,不是中心对称图形,故本选项错误;B,为轴对称图形,而不是中心对称图形,故本选项错误;C,为轴对称图形,而不是中心对称图形,故本选项错误;D,为中心对称图形,故本选项正确.故选D.
点评:本题主要考查对中心对称图形的定义的掌握,解题的关键是看那个图形能够找到对称中心,是否符合中心对称图形的定义.
21. (2011福建省三明市,6,4分)有5张形状、大小、质地均相同的卡片,背面完全相同,正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种不同的图案.将这5张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上,从中随机抽出一张,抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为(  )

A、 B、
C、 D、
考点:概率公式;轴对称图形;中心对称图形。
分析:根据中心对称图形的定义得出等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种图案哪些是中心对称图形,即可得出答案.
解答:解:∵根据中心对称图形的性质,旋转180°后,能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形,
∴只有平行四边形、菱形、圆是中心对称图形,
∵共有5张不同卡片,
∴抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为: ,
故选:C.
点评:此题考查主要考查了概率求法以及中心对称图形的定义,此题比较简单,正确记忆中心对称图形的定义是解决问题的关键.
22. (2011福建厦门,5,3分)如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是(  )

A、顺时针旋转90°B、逆时针旋转90°
C、顺时针旋转45°D、逆时针旋转45°
考点:旋转的性质。
分析:此题根据给出的图形先确定出旋转中心,再确定出旋转的方向和度数即可求出答案.
解答:解:根据图形可知:将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE.
故选B.
点评:本题主要考查旋转的性质,在解题时,一定要明确三个要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度.
23.(2011甘肃兰州,4,4分)如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’,则tanB’的值为( )
A. B. C. D.

考点:锐角三角函数的定义;旋转的性质.
分析:过C点作CD⊥AB,垂足为D,根据旋转性质可知,∠B′=∠B,把求tanB′的问题,转化为在Rt△BCD中求tanB.
解答:解:过C点作CD⊥AB,垂足为D.
根据旋转性质可知,∠B′=∠B.在Rt△BCD中,tanB= CD:BD= ,
∴tanB′=tanB= .
故选B.
点评:本题考查了旋转的性质,旋转后对应角相等;三角函数的定义及三角函数值的求法.
24. (2010广东佛山,7,3分)一个图形无论经过平移还是旋转,有以下说法()
①对应线段平行;②对应线段相等;
③对应角相等;④图形的形状和大小都没有发生变化
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
考点旋转的性质;平移的性质
分析掌握平移和旋转的性质及其区别,平移变换对应线段平行,但旋转后对应线段不平行.
解答解:平移后对应线段平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化.
旋转后对应线段不平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化.
故选D.
点评此题考查了图形变换的性质及其区别,属基础题.
25.(2011辽宁沈阳5,3)下列图形是中心对称图形的是(  )
A、 B、 C、 D、
考点:中心对称图形。
专题:几何图形问题。
分析:根据中心对称图形的定义,结合各图特点解答.
解答:解:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的只有D,而A、B、C都不是.
故选D.
点评:考查了中心对称图形的概念:绕着一点旋转180°后,与原图形重合的图形是中心对称图形.
26. (2010河南,6,3分)如图,将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置,先将它绕原点O旋转180°到乙位置,再将它向下平移2个单位长到丙位置,则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为(  )

A.(3,1)B.(1,3) C.(3,﹣1)D.(1,1)
考点:坐标与图形变化-旋转;坐标与图形变化-平移
分析:根据图示可知A点坐标为(﹣3,﹣1),它绕原点O旋转180°后得到的坐标为(3,1),根据平移“上加下减”原则,向下平移2个单位得到的坐标为(3,﹣1).
解答:解:根据图示可知A点坐标为(﹣3,﹣1),根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数∴旋转后得到的坐标为(3,1),根据平移“上加下减”原则,∴向下平移2个单位得到的坐标为(3,﹣1),故选C.
点评:本题主要考查了根据图示判断坐标、图形旋转180°特点以及平移的特点,比较综合,难度适中.
27. (2011•宜昌,13,3分)如图,矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为(2,1).如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为(  )
A、(2,1)B、(﹣2,1)C、(﹣2,﹣1)D、(2,﹣l)
考点:坐标与图形变化-旋转。
分析:将矩形0ABC绕点O顺时针旋转180°,就是把矩形0ABC上的每一个点绕点O顺时针旋转180°,求点B1的坐标即是点B关于点O的对称点B1点的坐标得出答案即可.
解答:解:∵点B的坐标是(2,1),
∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是(﹣2,﹣1).
故选C.
点评:此题主要考查了旋转变换,本题实际就是一个关于原点成中心对称的问题,要根据中心对称的定义,充分利用网格的辅助解题.
28. (2011湖南衡阳,4,3分)下列几个图形是国际通用的交通标志,其中不是中心对称图形的是(  )
A、 B、 C、 D、
考点:中心对称图形;生活中的旋转现象。
分析:根据中心对称图形的定义解答.
解答:解:根据中心对称图形的概念,知:A、B、C都是中心对称图形;D不是中心对称图形.
故选D.
点评:本题考查中心对称图形的概念:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
29. (2011•玉林,4,3分)下列图形是轴对称图形,又是中心对称图形的有(  )
A、4个B、3个
C、2个D、1个
考点:中心对称图形;轴对称图形。
专题:几何图形问题。
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
解答:解:第①个图形不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;
第②个图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
第③个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意;
第④个图形是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意.
所以既是轴对称图形,又是中心对称图形的有③④两个.
故选C.
点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
30. (2006•浙江,8,3分)在△ABC中,斜边AB=4,∠B=60°,将△ABC绕点B旋转60°,顶点C运动的路线长是(  )
A、 B、
C、πD、
考点:弧长的计算;旋转的性质。
分析:因为斜边AB=4,∠B=60°,所以BC=2,点C运动的路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧CC′,那么弧CC′的长= .
解答:解:弧CC′的长= .
故选B.
点评:解答本题的关键在于正确理解点C的运动路线是以B为圆心、BC为半径、中心角为60°的弧.
31. (2011贵州毕节,2,3分)下列交通标志中,是中心对称图形的是( )

考点:中心对称图形。
分析:根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中性对称图形,即可判断出.
解答:解:∵A.此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;B:∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;C.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;D.此图形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,故此选项正确;故选D.
点评:此题主要考查了中心对称图形的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.

32 .(2011黑龙江省哈尔滨,3,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A. B. C. D.
考点:中心对称图形;轴对称图形。
分析:根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义解答
解答:解:A项为中心对称图形,不是轴对称图形,故本项错误,
B项为轴对称图形,不是中心对称图形,故本项错误,
C项既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本项错误,
D项是中心对称图形,也是轴对称图形,故本项正确.
故答案选择﹣﹣D
点评:本题主要考察中心对称图形和轴对称图形的定义,解题的关键是结合定义看一下图形是否符合中心对称图形和轴对称图形的定义.
33. (2011黑龙江省哈尔滨,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点),连接CC′,则∠CC′B′的度数是(  )

A.45°B.30°C.25°D.15°
考点:旋转的性质。
专题:计算题。
分析:旋转中心为点A,C、C′为对应点,可知AC=AC′,又∠CAC′=90°,根据△CAC′的特性解题.
解答:解:由旋转的性质可知,AC=AC′,
又∠CAC′=90°,可知△CAC′为等腰直角三角形,
所以,∠CC′A=45°.
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°,
∴∠CC′B′=15°.
故选D.
点评:本题考查了旋转的性质,旋转的性质:对应点与旋转中心的连线相等,夹角是旋转角.
34.(2011黑龙江省黑河, 13,3分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A、 B、 C、 D、
【考点】中心对称图形;轴对称图形。
【专题】常规题型。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项正确;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.
故选B.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
35. (2011黑龙江鸡西,2,3分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

考点:中心对称图形;轴对称图形.
分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
解答:解:A,不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;B,是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项正确;C,是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;D,是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.故选B.
点评:本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
36. (2011黑龙江牡丹江,12,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(  )个.

A、1  B、2      C、3   D、4
考点:中心对称图形;轴对称图形。
分析:根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答.
解答:解:第一个和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形;
第二个图形和第四个图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个.
故选B.
点评:本题考查正多边形对称性.关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形,奇数边的正多边形只是轴对称图形.
37. (2011广东湛江,6,3分)在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )
A、 B、 C、 D、
直角三角形 正五边形 正方形 等腰梯形

考点:中心对称图形;轴对称图形.
分析:根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中性对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
解答:解:A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误;
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
C、此图形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误.
故选C.
点评:此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.
38.(2011年广西桂林,4,3分)下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽,其中为中心对称图形的是( ).

考点:中心对称图形.
分析:根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中性对称图形,即可判断出.
答案:解:∵A.此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;
B:∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;
C.此图形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,故此选项正确;
D:∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误.
故选C.
点评:此题主要考查了中心对称图形的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.
39. (2011湖州,8,3分)如图,已知△AOB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是(   )
A.150° B.120° C.90° D.60°

考点:旋转的性质;等边三角形的性质;等腰直角三角形.
分析:∠AOC就是旋转角,根据等边三角形的性质,即可求解.
解答:解:旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°.故选A.
点评:本题主要考查了旋转的性质,正确理解旋转角是解题的关键.
40. (2011浙江嘉兴,3,3分)如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为(  )

A.30° B.45° C.90° D.135°
考点:旋转的性质.
专题:网格型;数形结合.
分析:△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,由图可知,∠AOC为旋转角,可利用△AOC的三边关系解答;
解答:解:如图,设小方格的边长为1,得,OC= = ,AO= = ,AC=4,
∵OC2+AO2= + =16,AC2=42=16,
∴△AOC是直角三角形,∴∠AOC=90°.故选C.
点评:本题考查了旋转的性质,旋转前后对应角相等,本题也可通过两角互余的性质解答.
41. (2011浙江义乌,6,3分)下列图形中,中心对称图形有(  )

A.4个B.3个C.2个D.1个
考点:中心对称图形。
专题:几何图形问题。
分析:根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解.
解答:解:第四个图只是轴对称图形,第1、第2和第3个是中心对称图形.
中心对称图形有3个.
故选B.
点评:本题考查中心对称图形的概念:绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合.
42. (2011浙江舟山,3,3分)如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为(  )

A.30°B.45°C.90°D.135°
考点:旋转的性质。
专题:网格型;数形结合。
分析:△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,由图可知,∠AOC为旋转角,可利用△AOC的三边关系解答;
解答:解:如图,设小方格的边长为1,得,
OC= =2 ,AO= =2 ,AC=4,
∵OC2+AO2=(2 )2+(2 )2=16,
AC2=42=16,
∴△AOC是直角三角形,
∴∠AOC=90°.
故选C.
点评:本题考查了旋转的性质,旋转前后对应角相等,本题也可通过两角互余的性质解答.

二、填空题
1. (2011江苏淮安,18,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1,B1C1交AC于点D,如果AD= ,则△ABC的周长等于 .

考点:旋转的性质;解直角三角形。
分析:根据已知可以得出∠BAC=60°,而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°,可知∠B1AD=45°,可以求出AB1= ,而AB与AB1是相等的,故可求AB,那么BC和AC可求,则△ABC的周长可求.
解答:解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,
则∠BAC=60°,
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后,∠B1AD=45°,
而∠AB1D=90°,故△AB1D是等腰直角三角形,
如果AD=2 ,则根据勾股定理得,
AB1= 那么AB=AB1= ,
AC=2AB=2 ,
BC= ,
△ABC的周长为:AB+BC+AC= +2 + =3 + .
故本题答案为:3 + .
点评:本题主要考查旋转和直角三角形的性质,既要弄清等腰梯形、直角梯形的判定,又要掌握有关旋转的知识,在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半,也是解决问题的关键.
2. (2011江苏南京,14,2分)如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE=CF,连接AE、BF.将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF,旋转角为α( 0°<α<180°),则∠α= 90° .

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质。
分析:首先作出旋转中心,根据多边形的性质即可求解.
解答:解:∵四边形ABCD是正方形.
∴∠AOB=90°,
故α=90°.
故答案是:90°.

点评:本题主要考查了旋转的性质,以及正多边形的性质,正确理解正多边形的性质以及旋转角是解题的关键.
3. (2011•泰州,16,3分)如图,△ABC的3个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上,将△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'的位置,且点A'、C'仍落在格点上,则线段AB扫过的图形面积是  平方单位(结果保留π).

考点:旋转的性质;扇形面积的计算。
专题:网格型。
分析:在Rt△ABC中,由勾股定理求AB,观察图形可知,线段AB扫过的图形为扇形,旋
转角为90°,根据扇形面积公式求解.
解答:解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB= ,
由图形可知,线段AB扫过的图形为扇形ABA′,旋转角为90°,
∴线段AB扫过的图形面积= = .
故答案为: .
点评:本题考查了旋转的性质,扇形面积公式的运用.关键是理解题意,明确线段AB扫过的图形是90°的扇形.
4. (2011盐城,17,3分)如图,已知正方形ABCD的边长为12cm,E为CD边上一点,DE=5cm.以点A为中心,将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF,则点E所经过的路径长为    .

考点:弧长的计算;勾股定理;正方形的性质;旋转的性质.
专题:计算题.
分析:先利用勾股定理求出AE的长,然后根据旋转的性质得到旋转角为∠DAB=90°,最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长.
解答:解:∵AD=12,DE=5,∴AE= =13,又∵将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF,而AD=AB,∴旋转角为∠DAB=90°,∴点E所经过的路径长=
(cm).故答案为 .
点评:本题考查了弧长公式:l= ;也考查了正方形的性质以及旋转的性质.
5. (2011山西,17,3分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC. 把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′,若AB=2, 则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是_____________(结果保留 )

考点:扇形面积及三角形面积的组合.旋转.
专题:旋转.扇形面积及三角形面积的组合.
分析:如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,所以∠ABC=∠BAC=45°. 因为AB=2,则AC = = BC.由旋转变换知AC =AC’ = .∠BAC=∠B’AC’=45°.
, . .

解答:
点评:根据题意找到关系式: ,在本题中找到这样的关系后,直接求出两个扇形的面积后直接相减即可.
6. Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=
80°或120°

考点:旋转的性质.
专题:计算题.
分析:本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题,故可以D点为圆心,DB长为半径画弧,第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′,交直角边AC于B″,此时DB′=DB,DB″=DB=2CD,由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数,在Rt△B″CD中,解直角三角形求∠CDB″,可得旋转角∠BDB″的度数.
解答:解:如图,在线段AB取一点B′,使DB=DB′,在线段AC取一点B″,使DB=DB″,
∴旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°,
在Rt△B″CD中,∵DB″=DB=2CD,∴∠CDB″=60°,
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°.
故答案为:80°或120°.
7. (2011•贺州)在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④.在看不见图形的情况下随机抽取一张,卡片上的图形是中心对称图形的概率是 .

考点:概率公式;中心对称图形。
专题:应用题。
分析:先判断图中中心对称图形的个数,再根据概率公式进行解答即可.
解答:解:∵在这一组图形中中心对称图形的是:①②④共3个,
∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是 .
故答案为: .
点评:本题主要考查的是概率公式及中心对称图形,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= .
8. (2011•西宁)如图,在6×6的方格中(共有36个小方格),每个小方格都是边长为1的正方形,将线段OA绕点O逆时针旋转得到线段OB(顶点均在格点上),则阴影部分面积等于 π .

考点:扇形面积的计算;旋转的性质。
专题:计算题。
分析:根据勾股定理求得OA,再由旋转的性质得出∠AOB=90°,根据扇形面积公式S扇形= 得出答案即可.
解答:解:∵每个小方格都是边长为1的正方形,
∴OA=2 ,
∴S扇形= = = π.
故答案为 π.
点评:本题考查了扇形面积的计算,解此题的关键是熟练掌握扇形面积公式.
9.(2011•莱芜)如图①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②、图③、…,则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 (36,0) .

考点:旋转的性质;坐标与图形性质;勾股定理。
专题:规律型。
分析:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,则AB=5,每旋转3次为一循环,则图③、④的直角顶点坐标为(12,0),图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24,0),所以,图⑨、⑩10的直角顶点为(36,0).
解答:解:∵在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,
∴AB=5,
∴图③、④的直角顶点坐标为(12,0),
∵每旋转3次为一循环,
∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24,0),
∴图⑨、⑩的直角顶点为(36,0).
故答案为:(36,0).
点评:本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理,找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”,是解答本题的关键.
10. (2011成都,14,4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为弧BD,则图中阴影部分的面积是 .

考点:扇形面积的计算;勾股定理;旋转的性质。
专题:计算题。
分析:先根据勾股定理得到AB= ,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD
解答:解:∵∠ACB=90°,AC=BC=1,
∴AB= ,
∴S扇形ABD=
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,
∴Rt△ADE≌Rt△ACB,
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD= .
故答案为: .
点评:本题考查了扇形的面积公式: .也考查了勾股定理以及旋转的性质.
11. (2011四川省宜宾市,16,3分)如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转
α度,得到△A1BC1,A1B 交AC于点E,A1C1分别交AC、BC
于点D、F,下列结论:①∠CDF=α,②A1E=CF,
③DF=FC,④AD =CE,⑤A1F=CE.
其中正确的是 (写出正确结论的序号).

考点:旋转的性质.
分析:①两个不同的三角形中有两个角相等,那么第三个角也相等;
②先证明△A1BD≌△CBD,再可证明△ADE≌△CDF,可得结论A1E=CF;
③∠CDF=α,而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等,所以可证DF与FC不一定相等;
④先证明AD=CD,而CD<CE,可得AD<CE;
⑤用角角边证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE.
答案:解:①∠C=∠C1(旋转后所得三角形与原三角形完全相等)
又∠DFC=∠BFC1(对顶角相等)
∴∠CDF=∠C1BF=α
故结论①正确;
②如图,连接BD,

AB=BC,则∠A=∠C
所以∠A1=∠C,而AB=BC=A1B,BD=BD
∴△A1BD≌△CBD
那么A1D=CD,而∠A1=∠C,∠ADE=∠CDF(对顶角相等)
则△ADE≌△CDF(角角边)
所以A1E=CF,
故结论②正确;
③在三角形DFC中,∠C与∠CDF=α度不一定相等,所以DF与FC不一定相等,
故结论③不一定正确;
④由△ADE≌△CDF可得,
AD=CD,而从图可知CD<CE,
则AD<CE
故结论④不正确;
⑤BC=A1B,∠A1=∠C,∠A1BF=∠CBE
∴△A1BF≌△CBE
那么A1F=CE.
故结论⑤正确.
故答案为:①②⑤.
点评:本题考查旋转的性质,其中涉及三角形全等的定理和性质:角角边、边边角证明三角形全等,全等三角形对应边相等.
12. (2010福建泉州,17,4分)如图,如果边长为1的正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合,那么点B的对应点是点 G ,点E在整个旋转过程中,所经过的路径长为 (结果保留π).

考点旋转的性质;正多边形和圆;弧长的计算
分析根据图形旋转的性质接可求出点B的对应点,再连接AE,过F点向AE作垂线,利用锐角三角函数的定义及直角三角形的性质可求出AE的长,再利用弧长公式接可求出E在整个旋转过程中,所经过的路径长.
解答解:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴此六边形的各内角是120°,
∵正六边形ABCDEF绕着顶点A顺时针旋转60°后与正六边形AGHMNP重合,
∴B点只能与G点重合,连接AE,过F点向AE作垂线,垂足为H,
∵EF=AF=1,HF⊥AE,∴AE=2EH,∵∠AFE=120°,∴∠EFH=60°,∴EH=EF•sin60°=1× = ,
∴AE=2× = ,∴E点所经过的路线是以A为圆心,以AE为半径,圆心角为60度的一段弧,∴E在整个旋转过程中,所经过的路径长= = π.故答案为:G、= π.

点评本题考查的是图形旋转的性质、正多边形和圆及弧长的计算、等腰三角形的性质,根据题意作出辅助线,构造出等腰三角形是解答此题的关键.


综合验收评估测试题
(时间:120分钟 满分:120分)

一、选择题(每小题3分,共30分)
1.判断下列两个结论:①正三角形是轴对称图形;②正三角形是中心对
称图形,结果是 ( )
A.①②都正确 B.①②都错误
C.①正确,②错误 D.①错误,②正确
2.在如图23-103所示的艺术字中,有些字母是中心对称图形,下面的
5个字母中,是中心对称图形的有 ( )

A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
3.如图23-104所示,D是等腰直角三角形ABC内一点,
BC是斜边,如果将△ABD绕点A逆时针旋转到△
ACD′的位置,则∠ADD′的度数是 ( )
A.25° B.30°
C.35° D.45°
4.如图23-105(1)所示的四张牌,若将其中一张牌旋转180°后得到如图
23-105(2)所示的四张牌,则旋转的牌是如图23-106所示的 ( )

5.如图23-107所示的△ABC是等边三角形,D是BC的中点,以D为旋转中心,把
△ABC顺时针旋转60°后所得到的图形应是如图23-108所示的 ()
6.如图23-109所示,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,则它们的公共部分的面积为 ( )
A. B. C. D.
7.若点P(1+2a,4—2a)关于原点的对称点在第三象限内,则a的整数解有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图23-110所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD, AC交BD于点O,点E,F分别为AO,BO的中点,则下列关于点O成中心对称的一组三角形是( )
A.△ABO与△CDO B.△AOD与△BOC
C.△COD与△EOF D.△ACD与△BDC
9.如图23-111所示,∠AOB=90°,∠B=30°,△A′OB′可以看做是由△AOB绕点O顺时针旋转a角度得到的.若点A′在AB上,则旋转角a的大小可以是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°

10.如图23-112所示,点A,B,C的坐标分别为(0,-1),(0,2),(3, 0).从下面四个点M(3,3),N(3,-3),P(-3,0),Q(-3,1)中选择一个点,以A, B,C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形,则该点是 ( )
A.M B.N C.P D.Q
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图23-113所示,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点,这个
五角星是可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过 次
旋转而得到,每一次旋转 度.
12.如图23-114.所示,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′,使点B
恰好落在边A′B′上,已知AB=4 cm,BB′=1 cm,则A′B的长是 cm

13.如图23-115所示,平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,4),将线
段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′,则点A′的坐标是 .
14.如图23-116所示,在△ABC中,∠ABC=40°,将△ABC绕点A逆时针旋转到
△ADE处,使点B落在BC的延长线上的D处,则∠BDE= .
15.如图23-117所示,四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到
的.如果用有序数对(2,1)表示方格纸上A点的位置,用(1,2)表示B点的位置,
那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是 .

l6.如图23-118所示,将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△A′B′C,
已知斜边AB=10 cm,直角边BC=6 cm,设A′B′的中点是M,则MA= cm.
三、解答题(每小题9分,共72分)
17.如图23-119所示,将长方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转90°,连续旋转
3次,画出图形并回答下列问题.
(1)这个图形是旋转对称图形吗?如果是,指出旋转中心和旋转角度(指出一个旋转
角度即可);
(2)它是中心对称图形吗?

l8.如图23-120所示,点O,B的坐标分别为(0,0),(3,0),将△OAB绕点O按逆时
针方向旋转90°,得到△OA′B′.
(1)画出△OA′B′;
(2)求点A′的坐标;
(3)求BB′的长.
19.如图23—121所示,把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转,
使得点A与CB的延长线上的点E重合.
(1)三角尺旋转了多少度?
(2)连接CD,试判断△CBD的形状;
(3)求∠BDC的度数.

20.如图23-122所示,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE,
DG.
(1)猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论;
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请说出旋转过
程;若不存在,请说明理由.
21.世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,如图23-123所示的来自现实
生活的图形中都有圆.

(1)以上三个图形中,是轴对称图形的有 ,是中心对称图形的有 ;
(分别用上面三个图的代号a,b,c填空)
(2)请你在下面的两个圆(如图23-124所示)中按要求分别画出与上面图案不重复
的图案.(用尺规画或徒手画均可,但要尽可能准确些、美观些)

甲:是轴对称图形,但不是中心对称图形;
乙:既是轴对称图形,又是中心对称图形.
22.如图23-125所示,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°,得到△OA1B1.
(1)线段OA1的长是 , ∠AOB1的度数是 ;
(2)连接AA1,求证四边形OAA1B1是平行四边形;
(3)求四边形OAA1B1的面积.

23.如图23-126所示,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-6,0),C(-1,0).
(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标;
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形,
直接写出点B的对应点的坐标;
(3)请直接写出:以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
24.如图23-127所示,在平面内直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板,它们中
较小直角边的长为6 cm,较小锐角的度数为30°.
(1)将△ECD沿着直线AC翻折到如图23—128(1)所示的位置,ED′与AB相交
于点F,求证AF=FD′;
(2)将△ECD沿直线l向左平移到如图23—128(2)所示的位置,使E点落在AB
上,记为E′,求出平移的距离;
(3)将△ECD绕点C逆时针方向旋转到如图23—128(3)所示的位置,使得点E落
在AB上,记为点E′,求出旋转角的度数.


参考答案


1.C
2.B[提示:H,I,N是中心对称图形,E,A是轴对称图形.]
3.D[提示:△ADD′是等腰直角三角形.]
4.A[提示:方块旋转180°后,能与自身重合.]
5.C [提示:旋转中心在旋转前后是固定不变的.]
6.D[提示:设CD和B′C′相交于点M,连接AM,∵AB′=AD=1,AM是公共边,∴Rt△ADM≌Rt△AB′M,∴∠MAD=∠MAB′= ∴DM= AM,设DM为x,则AM为2x.∴(2x)2-x2=12.∴x= ∴△ADM的面积= ×1× .∴它们的公共部分的面积为 .故选D.]
7.B[提示:P(1+2a,4-2a)关于原点的对称点为P′(一1—2a,2a一4),依题意得一1—2a<0,2a一4<0,故一 <a<2,所以以a=0或1.]
8.C[提示:△COD≌△EOF.]
9.C[提示:△OAA′是等边三角形,旋转角∠AOA′=60°.]
10.C[提示:画图可知.]
11.4 72
12.3[提示:由旋转性质知A′B′=AB=4cm.]
13.(4,一1) 14.80°[提示:由旋转的基本性质可知△ABC≌△ADE,所以AB=AD,∠B=∠ADE=40°;所以∠B=∠ADB=40°,所以∠BDE=∠ADB+∠ADE=40°+40°=80°.]
15.(5,2)[提示:首先根据B(1,2)画出平面直角坐标系,然后用尺规作图作出AE,CG的垂直平分线,垂直平分线的交点即为旋转中心.]
16. [提示:过M作MN⊥AC,利用勾股定理及旋转的特征解题.]
l7.解:如图23—129所示.(1)该图形是旋转对称图形,旋转中心为A,旋转角度为90°. (2)该图形是中心对称图形.
18.(1)图略. (2)A′(-2,4). (3)BB′=3 .
19.(1)150°. (2)等腰三角形. (3)l5°.
20.解:(1)BE=DG.证明如下:∵四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形,∴BC=DC,EC=GC,∠BCE=∠DCG=90°,∴Rt△BCE≌△RtDCG,∴BE=DG. (2)由(1)的证明过程知满足条件的三角形存在,是Rt△BCE和Rt△DCG,将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°,可与Rt△DCG完全重合(或将Rt△DCG绕点C逆时针旋转90°,可与Rt△BCE完全重合).
21.提示:(1)a,b,c a,c (2)符合题意即可,答案不唯一.图略.
22.(1)解:O1A=0A=6,∠AOB1=135°. (2)证明:∵∠OA1B1=90°,∠AOA1=90°,∴A1Bl∥OA.∵A1B1=AB=OA'.∴四边形OAAlB1为平行四边形. (3)解:四边形OAA1B1的面积为OA×OA1一6×6—3 6.
23.提示:做此题时,要动手亲自画图,同时注意D点有三个,不要丢了.解:(1)A关于y轴对称的点的坐标为(2,3). (2)画图(略),点B的对应点的坐标为(0,一6). (3)D为3个位置.D1(3,3),D2(一5,一3),D3(一7,3).
24.(1)证明:由轴对称的性质可知D′C=DC,∠ED′C=∠EDC,又EC=BC.∴AE—BD′.在△AFE与△D′FB中,
∠A=∠ED′C,
∠AFE=∠D′FB,∴△AFE≌△D′FB′.∴AF=FD′.
AE=BD′,
(2)解:根据平移的性质可知CC′的长等于平移的距离,在Rt△E′BC′中,易知BC′= ,∴CC′=6- . (3)解:根据旋转的性质可知E′C=BC,又∠ABC=90°一30°=60°. ∴△BCE′为等边三角形, ∴∠E′CB=60°, ∴旋转角∠ECE′=∠ACB一∠E′CB=30°

 

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