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24.1 圆(第3课时)

教学内容
1.圆周角的概念.
2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对的圆心角的一半.
推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.
教学目标[来源:学,科,网]
1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.
设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.
重难点、关键
1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理.
3.关键:探究圆周角的定理的存在.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们口答下面两个问题.
1.什么叫圆心角?
2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?
老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫 圆心角.
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等.
刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.
二、探索新知
问题:如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在 所在的⊙O其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF 、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.
1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?
2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.
老师点评:
1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.
2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.
3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.
下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”
(1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直 径,如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠B AO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC= ∠AOC
(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD 的两侧,那么∠ABC= ∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.
老师点评:连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.
(3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC= ∠AOC吗?请同学们独立完成证明.
老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC
现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得 它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.
从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
进一步,我们还可以得到下面的推导:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.
例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.
解:BD=CD
理由是:如图24-30,连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
1.教材P92 思考题.
2.教材P93 练习.
四、应用拓展
例2.如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、∠C的对边分别设为a,b,c,⊙O半径为R,求证: = = =2R.
分析:要证明 = = =2R,只要证明 =2R, =2R, =2R,即sinA= ,sinB= ,sinC= ,因此,十分明显要在直角三角形中进行.
证明:连接CO并延长交⊙O于D,连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBC中,sinD= ,即2R=
同理可证: =2R, =2R
∴ = = =2R
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.圆周角的概念;
2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所对的圆心角的一半;
3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.
六、布置作业
1.教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13.
2.选用课时作业设计.

第三课时作业设计
一、选择题
1.如图1,A、B、C三点在⊙O上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( ).
A.140° B.110° C.120° D.130°

(1) (2) (3)
2.如图2,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是( )
A.∠4<∠1<∠2<∠3 B.∠4<∠1=∠3<∠2
C.∠4<∠1<∠3∠2 D.∠4<∠1<∠3=∠2
3.如图3,AD是⊙O的直径,AC是弦,OB⊥AD,若OB=5,且∠CAD=30°,则BC等于( ).
A.3 B.3+ C.5- D.5
二、填空题
1.半径为2a的⊙O中,弦AB的长为2 a,则弦AB所对的圆周角的度数是________.
2.如图4,A、B是⊙O的直径,C、D、E都是圆上的点,则∠1+∠2=_______.

(4) (5)
3.如图5,已知△ABC为⊙O内接三角形,BC=1,∠A=60°,则⊙O半径为_______.

三、综合提高题
1.如图,弦AB把圆周分成1:2的两部分,已知⊙O半径为1,求弦长AB.


2.如图,已知AB=AC,∠APC=60°
(1)求证:△ABC是等边三角形.
(2)若BC=4cm,求⊙O的面积.

3.如图,⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°.
(1)求证:AB为⊙C直径.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.

答案:
一、1.D 2.B 3.D
二、1.120°或60° 2.90° 3.
三、1. 2.(1)证明:∵∠ABC=∠APC=60°,
又 ,∴∠ACB=∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形.
(2)解:连结OC,过点O作OD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ODC中,DC=2,∠OCD=30°,
设OD=x,则OC=2x,∴4x2-x2=4,∴OC=
3.(1)略 (2)4,(-2 ,2)

 

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