六年级奥数行程与工程讲座

时间:01-13 编辑:佚名 手机版

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行程与工程
内容概述
运动路线或路况复杂,与周期性或数论知识相关联,需进行优化设计等具有相当难度的行程问题.工作效率发生改变,要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题.

典型问题
1。如图21-l,A至B是下坡,B至C是平路,C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米,平路时步行速度是每小时5千米,下坡时步行速度是每小时6千米.小张和小王分别从A和D同时出发,1小时后两人在E点相遇.已知E在BC上,并且E至C的距离是B至C距离的 .当小王到达A后9分钟,小张到达D.那么A至D全程长是多少千米?

【分析与解】 BE是BC的 ,CE是BC的 ,说明DC这段下坡,比AB这段下坡所用的时间多,也就是DC这一段,比AB这一段长,因此可以在DC上取一段DF和AB一样长,如下图:

另外,再在图上画出一点G,使EG和EC一样长,这样就表示出,小王从F到C.小张从B到G.
小王走完全程比小张走完全程少用9分钟,这时因为小张走C至F是上坡,而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多).
因此,小王从F至C,走下坡所用时间是9÷ =18(分钟).
因此得出小张从B至G也是用18分钟,走GE或CE都用6分钟.走B至C全程(平路)要30分钟.
从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟);
从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟);
A至D全程长是(36+54)× +30× =11.5千米.
2.如图2l-2,A,B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分.蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动,它每跳一步的步长是 米,如果它跳到A点,就会经过特别通道AB滑向曰点,并从B点继续起跳,当它经过一次特别通道,圆的半径就扩大一倍.已知蓝精灵跳了1000次,那么跳完后圆周长等于多少米?


【分析与解】 ×4= 即蓝精灵跳4次到A点.圆半径扩大一倍即乘以2后,跳8次到A点.
圆半径乘以4后,跳16次到A点.
依次类推,由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000,所以有7次跳至A点.
1000次跳完后圆周长是1× =128米.
3.已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同;猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同.而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同;猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同,猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道,同时同向同地出发.问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?

【分析与解】 方法一:由题意,猫与狗的速度之比为9:25,猫与兔的速度之比为25:49.
设单位时间内猫跑1米,则狗跑 米,兔跑 米.
狗追上猫一圈需300÷( -1)= 单位时间,
兔追上猫一圈需300÷( -1)= 单位时间.
猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是 的整数倍,又是 的整数倍.
与 的最小公倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除以分母的最大
公约数,即 =8437.5.
上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第一次相遇.此时,猫跑了8437.5米,狗跑了
8437.5× =23437.5米,兔跑了8437.5× =16537.5米.
方法二:有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程,兔跑25步的路程相;而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间,兔跑21步的时间相同.
所以猫、狗、兔的速度比为 ,它们的最大公约数为
.
即设猫的速度为 ,那么狗的速度为
,则兔的速度为 .
于是狗每跑300÷(625-225)= 单位时追上猫;
兔每跑300÷(441-225)= 单位时追上猫.
而 ,所以猫、狗、兔跑了 单位时,三者相遇.
有猫跑了 ×225=8437.5米,狗跑了 ×625=23437.5米,兔跑了 ×441=16537.5米.
评注:方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位,一个是 单位,可是答案却是一样的,为什么呢?
在方法二中,如果按下面解答会得到不同答案,又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决,并在今后的学习中避免这种错误.
于是狗每跑300÷(625-225)×625= 米追上猫;
兔每跑300÷(441-225)×441= 米追上猫;
而 ,…
4.一条环形道路,周长为2千米.甲、乙、丙3人从同一点同时出发,每人环行2周.现有自行车2辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行出发,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑.已知甲步行的速度是每小时5千米,乙和丙步行的速度是每小时4千米,3人骑车的速度都是每小时20千米.请你设计一种走法,使3个人2辆车同时到达终点.那么环行2周最少要用多少分钟?

【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车,则甲、乙、丙同时到达,单位“1”的路程只需时间 ;乙、丙情况类似,所以先只考虑甲、乙,现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程,耽搁的时间比为:

而他们需同时出发,同时到达,所以耽搁的时间应相等.于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比,即为4:3;因为丙的情形与乙一样,所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3.
因为有3人,2辆自行车,所以,始终有人在步行,甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长.
于是,甲步行的距离为2× =0.8千米;则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米;
所以甲需要时间为( )×60=19.2分钟
环形两周的最短时间为19.2分钟.
参考方案如下:甲先步行0.8千米,再骑车3.2千米;
乙先骑车2.8千米,再步行0.6千米,再骑车0.6千米(丙留下的自行车);
丙先骑车3.4千米,再步行0.6千米.

5.甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴天,一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天;在雨天,一队的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%.结果两队同时完成这两项工程,那么在施工的日子里,雨天有多少天?

【分析与解】晴天时,一队、二队的工作效率分别为 和 ,一队比二队的工作效率高 - = ;雨天时,一队、二队的工作效率分别为 ×(1-40%)= 和 ×(1-10%)= ,这时二队的工作效率比一队高 - = .
由 : =5:3知,要两个队同时完工,必须是3个晴天,5个雨天,而此时完成了工程的 ×3+ ×5= ,所以,整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天.

6.画展9时开门,但早有人来排队等候入场.从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口,9时9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9时5分就没有人排队.那么第一个观众到达的时间是8时几分?

【分析与解】 由题意可得两个等式,如下:
(开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3×(每个入口每分钟进的人数)×9 ①
(开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5×(每个入口每分钟进的1人数)×5 ②
①-②得:4分钟内到的人数=2×(每个人口每分钟进的人数)……③
从而有:每个入口每分钟进的人数=2×(每分钟进的人数)……④
代入②得,开门前排队人数=25×2-5=45分钟内到的人数.
因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的.

7.甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作,搬完货物甲用10小时,乙用12小时,丙用15小时.第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物,这两个仓库的工作量也相同.甲在A仓库,乙在B仓库,丙先帮甲后帮乙,结果干了16小时后同时搬运完毕.问丙在A仓库做了多长时间?
【分析与解】 设第一天的每个仓库的工作量为“1”,
那么甲、乙、丙的合作工作效率为 = ,第二天,甲、乙、丙始终在同时工作,所以第二天两个仓库的工作总量为 ×16=4,即第二天的每个仓库的工作总量为4÷2=2.
于是甲工作了16小时只完成了16× = 的工程量,剩下的2- = 的工程量由丙帮助完成,则丙需工作 ÷ =6(小时).
丙在A仓库做了6小时.

 

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