六年级奥数数字谜综合讲

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数字谜综合
内容概述
各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题.

典型问题
1.ABCD表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的数字.已知ABCD+EFG=1993,问:乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少?

【分析与解】 因为两个数的和一定时,两个数越紧接,乘积越大;两个数的差越大,乘积越小.
A显然只能为1,则BCD+EFG=993,
当ABCD与EFG的积最大时,ABCD、EFG最接近,则BCD尽可能小,EFG尽可能大,有BCD最小为234,对应EFG为759,所以有1234×759是满足条件的最大乘积;
当ABCD与EFG的积最小时,ABCD、EFG差最大,则BCD尽可能大,EFG尽可能小,有EFG最小为234,对应BCD为759,所以有1759×234是满足条件的最小乘积;
它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×(759—234)=525000.
2.有9个分数的和为1,它们的分子都是1.其中的5个是 , , , , 另外4个数的分母个位数字都是5.请写出这4个分数.

【分析与解】 l一( + + + + )= =
需要将1010拆成4个数的和,这4个数都不是5的倍数,而且都是3×3×7×1l的约数.因此,它们可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693.
经试验得693+231+77+9=1010.
所以,其余的4个分数是: , , , .

3.
请在上面算式的每个方格内填入一个数字,使其成为正确的等式.
【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497, + = ,在等式两边同时乘上 ,就得 + = .显然满足题意.
又 + = ,两边同乘以 ,就得 + = .显然也满足.
+ = , + = 均满足.

4.小明按照下列算式: 乙组的数口甲组的数○1=
对甲、乙两组数逐个进行计算,其中方框是乘号或除号,圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中.有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正.问改正后的两个数的和是多少?

【分析与解】 甲组的前三个数0.625, , 都是小于1的数,2 与这三个数运算后,得5.05,4 ,4 ;不论减1还是加l后,这三个数都比2 大,而这是2 与小于1的数运算的结果,因此可以猜想方框内是除号.
现在验算一下:
2 ÷0.625= × = =4.05;
2 ÷ = × =3 ;
2 ÷ = × = =3 ;
2 ÷3= .
从上面四个算式来看,圆圈内填加号,这样有三个结果是对的,而4 是错的.
按照算式
乙组的数÷甲组的数+1…………………………*
2÷3+1=1 ,显然不为1.5,上面已认定3是正确的,因此,只有把2改为1.5,才有1.5÷3+1=1 ,而1.5÷0.625+l=3.4,1.5÷ +1=3.25.
由此可见,确定的算式*是正确的.
表中有两个错误,4 应改为4 ,2应改为1.5,
4 +1 =5+ =6 .
改正后的两个数的和是6 .

5.图14—3中有大、中、小3个正方形,组成了8个三角形.现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上,再把1,2,3,4分别填在中正方形的4个顶点上,最后把1,2,3,4分别填在小正方形的4个项点上.
(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能,请给出填数方法:如果不能,请说明理由.

(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能,请给出填数方法;如果不能,请说明理由.

【分析与解】 (1)无论怎样填法,都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等.
事实上,假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等,不妨设每个三角形顶点上数字之和为k.
在计算八个三角形顶点上数字之和时,大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次;中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次;小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次.
因此,这八个三角形顶点上数字之和的总和为:
8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4),即8k=60,k不为整数,矛盾,所以假设是错误的.
(2)易知:不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同,所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4,最大为3+4+4=11.
而4~11共8个数,于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同,可如下构造,且填法不惟一.图(a)和图(b)是两种填法.

6.图14—5中有11条直线.请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里,使每一条直线上所有数的和相等.求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数.

【分析与解】 表述1:设每行的和为S,在左下图中,除了a出现2次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a;

在右上图中除了a出现5次,其他数字均只出现了1次,并且每个数字都出现了,于是有5S=(1+2+3+…11)+4a=66+4a.
综合以上两式 ,
①×5-②×4得66-11a=0,所以a=6,则S=18.
考虑到含有*的五条线,有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90.即4*-t=24,由t是1~11间的数且t≠*,可知*=7,而每行相等的和S为18.

表述2:如下图所示,在每个圆圈内标上字母,带有*的圆圈标为x,

首先考虑以下四条直线:(h、f、a),(i、g、a),(x、d、b),(j、e、c),除了标有a的圆圈外,其余每个圆圈都出现了一次,而标有a的圆圈出现了两次,设每条直线上数字之和为S,则有:
(1+11)×11÷2+a=4S,即66+a=4S.
再考虑以下五条直线:(h、f、a),(i、g、a),(j、x、a),(e、d、a),(c、b、a),同理我们可得到66+4a=5S.
综合两个等式 ,可得a为6,每条直线上和S为18.
最后考虑含x的五条直线:(x、h),(x、g、f),(j、x、a),(x、d、b),(i、x、c).其中除了x出现了5次,e没有出现,其他数字均只出现了一次,于是可以得到:
66+4x-e=5S=90,即4x-e=24,由e是1—11间的数且e≠x可知x=7.
即每行相等的和S为18,*所填的数为7.

7.一个六位数,把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数,再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数,如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数.已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍,2倍,3倍,4倍,5倍,6倍,求这个六位数.

【分析与解】方法一: = , = , = , = , = , = 。
对应有142857,285714,428571,571428,714285,857142,它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍.
且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字,满足题意.
所以这个六位数为142857.
方法二:首先可以确定最小的六位数的首位为1,不然2*****的6倍就不是六位数,于是不妨设这个六位数为 ,那么6个六位数中必定存在一个数为 .
而个位数字1,只能由1×1,3×7或9×9得到.但是 只能对应为 ×(2—6),所以只能是 ×3得到.即 = ×3.
于是,我们不难递推出d为5,c为8,b为2,a为4,所以这个六位数为142857.
方法三:部分同方法二, = ×3.
那么有 ×10+l=(100000+ )×3,解得 =42857.
所以这个六位数为142857.

 

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