小学六年级奥数勾股定理讲座

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勾股定理

内容概述
1.勾股定理(毕达哥拉斯定理):直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方.

公元前500年古希腊的毕达哥拉斯发现了勾股定理后,曾宰牛百头,广设盛筵以示庆贺.
2. 公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五.既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五.

三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实.


汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句,长面曰股,相与结角曰弦.句短其股,股短其弦.
句股各自乘,并,而开方除之,即弦.
中国科学院数学与系统科学研究院的徽标(右图所示)采用的就是赵爽
的弦图.2002年在北京举行的国际数学家大会的徽标也是弦图.

如下,在弦图中有

3. 伽菲尔德证法:美国第20任总统伽菲尔德对数学有浓厚的兴趣,在还是中学教师时曾给出一种勾股定理的证明方法:
梯形面积= (上底+下底)×高
= (a+b)×(a+b)
= (a+b)2;

三个直角三角形的面积和= ab+ ab+ c2;
梯形面积=三个直角三角形面积和.
(a+b)2= ab+ ab+ c2,所以a2+b2=c2.
4.公元前3世纪的欧几里得在《几何原本》中给出一种证明,简叙如下:
如图,作出三个正方形,它们的边长分别为直角三角形ABC的三边长.连接图中的虚线段对应的点;过C作CK平行于AF,交AB、FG分别于J、K点.

易证△AFC≌△BAE,有 AF.FK= , EA.CA= ,所以

易证△CBG≌△HBA,有 BG.KG= , BH.IH= ,所以
.
而 .
即有AB2=AC2+CB2.

5. 勾股数组:a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表达,那么a、b、c称之为勾股数组,有a2+b2=c2.
如:u=2,v=l时a=3,b=4,c=5;u=7,v=6时a=13,b=84,c=85.
当然将已知的勾股数组内每个数都同时扩大若干倍得到的新的一组数还是勾股数组.

典型问题
2.智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A5,…,问:智能机器猫到达A6点与O点的距离是多少厘米?
【分析与解】 如右图所示,当智能机器猫到达A6点时,相对
O点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米.
有 =362+482,即OA2=60.
所以,A6点到O点的距离为60厘米.


4.如图32-3所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?

【分析与解】 如右图,延长AR,DQ,过E,F分别作AR,DQ的平行线,在正方形EFRQ内交成四个全等的直角三角形和一个小正方形GHMN,四个全等的直角三角形面积之和与四个白色的三角形面积之和相等.
小正方形HGNM的边长为9-5=4厘米,所以面积为16平方厘米,而另
外两个正方形ABPR、CDQR他的面积分别为25,81.所以原图中3个正方
形面积之和比4个三角形面积之和大25+8l+16=122平方厘米.


6.若把边长为1的正方形ABCD的四个角剪掉,得一四边形A1BlClDl,试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的 ,请说明理由.(写出证明及计算过程)
【分析与解】如左图所示,我们知道利用弦图,可是弦图怎么利用?设构造出的弦图中最小正方形的面积为x最大正方形面积为1,那么有剩下的正方形面
积为 (x+1)= ,所以x= .
那么,最小正方形的边长为 .由于是四角对称的剪
去,所以有ADl=DCl=CBl=BA1= ,AAl=BBl=CCl=DDl=
证明及计算过程略.

8.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数;现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?
【分析与解】 注意到,5个长、宽均不相等的长方形拼成一个正方形,只有一种拼法.(如右图所示,由弦图联想到).
A、B、C、D中必有一个长方形的一边长为10,不妨设为A,
那么显然不能组成边长为10的正方形;
如果能够组成边长为11的正方形,那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四边必须是为11,则剩下的两个数,它们的和为11,为中问阴影部分的长、宽和;

评注:如果能够组成边长为12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6试填不满足.
对于边长为13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有见下图情形,满足.

10.园林小路,曲径通幽.如图32-7所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问:内圈三角形石板的总面积大,还是外圈三角形的总面积大?请说明理由.


【分析与解】如图①,我们任意抽出两块相邻的白色正方形石板,及它们所夹成的青、红两色的三角形石板,如图②所示.图中有∠CDB+∠ADG=1800.
如果③,将△CDE逆时针旋转900,得△ .有 、 、 在同一条直线上,且△ 与△ 等底同高,所以有 .

也就是说,任意两块相邻的白色正方形石板,它们所夹成的青色三角形与红色三角形面积相等.
注意到在原图中,除了外圈青色的两块三角形外,外圈三角形、内圈三角形一一对应.所以原图中,外圈三角形的面积大于内圈三角形的面积,如图①所示.

 

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