六年级奥数几何综合讲座

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几何综合(一)

几何图形的设计与构造.涉及比例与整数分解,需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题.


1.今有9盆花要在平地上摆成9行,其中每盆花都有3行通过,而且每行都通过3盆花.请你给出一种设计方案,画图时用点表示花,用直线表示行.

【分析与解】 如下图所示,我们给出四种不同的排法.


2.已知如图12-1,一个六边形的6个内角都是120°,其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米.求这个六边形的周长.

【分析与解】 如下图所示,将六边形的六条边分别延长,相交至三点,并将其标上字母,
因为∠BAF=120°,而么∠IAF=180°-∠BAF=60°.
又∠EFA=120°,而∠IFA=180°-∠EFA:60°,则
△IAF为等边三角形.
同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形.
在△IAF中,有IA=IF=AF=9(厘米),
在△BGC中,有BG=GC=BC=1(厘米),
有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19,即为大正三角形的边长,所以有IG=IH=GH=19(厘米).
则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米),在△EDH中,DH=EH=5(厘米),所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米).
于是,原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米).


3.图12-2中共有16条线段,每两条相邻的线段都是互相垂直的.为了计算出这个图形的周长,最少要量出多少条线段的长度?

【分析与解】 如下图所示,我们想像某只昆虫绕图形爬行一周,回到原出发点,那么往右的路程等于往左的路程,往上的路程等于往下的路程.于是只用量出往右的路程,往下的路程,再将它们的和乘以2即为所求的周长.所以,最少的量出下列6段即可.


4.将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4,其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为
2:3.已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1,那么重叠部分的面积为多少?

【分析与解】设重叠部分的面积为x,则原三角形面积为1+2x,粗实线的面棚为1+x.因此
(1+2x):(1+x)=3:2,解得x=1,即重叠部分面积为1.


5.如图12-5,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问:大正六角星形的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 如下图所示,在正六边形ABCDEF中, 与 面积相等,12个 组成小正六角星形,那么由6个 及12个 组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米).

而通过下图,我们知道,正六边形ABCDEF可以分成6个小正三角形,并且它们面积相等,且与六个角
的面积相等,所以大正六角星形的
积为24÷6×12=48(平方厘米).


6.如图12-6所示,在三角形ABC中,DC=3BD,DE=EA.若三角形ABC的面积是1.则阴影部分的面积是多少?

【分析与解】 △ABC、△ADC同高,所以底的比等于面积比,那么有
而E为AD中点,所以
连接FD,△DFE、△FAE面积相等,设 则. 的面积也为x,


,解得 .
所以,阴影部分面积为


7.如图12-7,P是三角形ABC内一点,DE平行于AB,FG平行于BC,HI平行于CA,四边形AIPD的面积是12,四边形PGCH的面积是15,四边形BEPF的面积是20.那么三角形ABC的面积是多少?

【分析与解】 有平行四边形AIPD与平行四边形PGCH的面积比为IP与PH的比,即为12:15=4:5.
同理有FP:PG=20:15=4:3, DP:PE=12:20=3:5.

如图12-7(a),连接PC、HD,有△PHC的面积为 △DPH与△PHC同底PH,同高,所以面积相等,即 ,而△DPH与△EPH的高相等,所以底的比即为面积的比,有 ,所以
如图12-7(b)所示,连接FH、BP,
如图12-7(c)所示,连接FD、AP,


8.如图12-8,长方形的面积是小于100的整数,它的内部有三个边长是整数的正方形,①号正方形的边长是长方形长的 ,②号正方形的边长是长方形宽的 .那么,图中阴影部分的面积是多少?

【分析与解】 有①号正方形的边长为长方形长的 ,则图中未标号的正方形的边长为长方形长的 .
而②号正方形的边长为宽的 ,所以未标号的正方形的边长为长方形宽的 .
所以在长方形中有: 长= 宽,则长:宽=12:8,不妨设长的为12k,宽为8k,则①号正方形的边长为5k,又是整数,所以k为整数,有长方形的面积为96 ,不大于100.所以k只能为1,即长方形的长为12,宽为8.
于是,图中①号正方形的边长为5,②号正方形的边长为1,则未标号的正方形的边长为7,所以剩余的阴影部分的面积为:


9.如图12-9,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A和B是两个正方形重叠部分,C,D,E是空出的部分,这些部分都是长方形,它们的面积比是A:B:C:D:E=1:2:3:4:5.那么这个长方形的长与宽之比是多少?

【分析与解】 以下用 表示E部分横向的长度, 竖表示E部分竖向的长度,其他下标意义类似.

有 : =5:4, : =l:2.
而 + = + ,所以有 : : : =5:4:1:2.
而 + + = + 对应为5+1=6,那么 对应为3.
而A面积:B面积:C面积=1:2:3,所以 = = .
有 + 竖对应为6,所以 = 对应为3.
那么长方形的竖边为6+ 对应为9,长方形横边为
+6+ 对应为5+6+4=15.
所以长方形的长与宽的比为15:9=5:3.


10.如图12-10,红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个正方形盒内,它们之间互相叠合.已知露在外面的部分中,红色的面积是20,黄色的面积是
14,绿色的面积是lO.那么,正方形盒子的底面积是多少?

【分析与解】 如下图所示,我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘,有露在外面的部分,黄色减少的面积等于绿色增加的面积,也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变.

并且有变化后,黄色露出面积+红色部分面积,绿色露出面积+红色部分面积,都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积.
所以,黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积,于是.黄色露出面积=绿色露出面积,而它们的和为14+10=24,即黄色露出面积=绿色露出面积=12.
有黄:空白=红:绿,12:空白=20:12,解得空白=7.2,所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2.

11.如图12-11,在长260厘米,宽150厘米的台球桌上,有6个球袋A,B,C,D,E,F,其中AB=EF=130厘米.现在从4处沿45°方向打出一球,碰到桌边后又沿45°方向弹出,当再碰到桌边时,仍沿45°方向弹出,如此继续下去.假如球可以一直运动,直至落入某个球袋中为止,那么它将落人哪个袋中?

【分析与解】 将每个点的位置用一组数来表示,前一个数是这个点到FA的距离,后一个数是点到FD的距离,于是A的位置为(0,150),球经过的路线为:
(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220,150) →(70,0) →(0,70) →(80,150) →(230,0) →(260,30) →(140,150) →(0,10) →(10,0) →(160,150) →(260,50) →(210,0) →(60,150) →(0,90) →(90,0) →(240,150) →(260,130) →(130,0).
因此,该球最后落入E袋.


12.长方形ABCD是一个弹子盘,四角有洞.弹子从A出发,路线与边成45度角,撞到边界即反弹,并一直按此规律运动,直到落人一个洞内为止.如图12-12.当AB=4,AD=3时,弹子最后落入B洞.问:若AB=1995,AD=1994时,弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前,撞击BC边多少次?

【分析与解】撞击AD边的点,每次由A向D移动2;撞击BC边的点,每次由C向B移动2.
因为第一次撞击BC边的点距C点1,第一次撞击AB边的点距A点为2,1994÷2=997.
所以最后落人D洞,在此之前撞击BC边997次.


13.10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状.过图中所示两个圆心

A,B作直线,那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?
【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆,2个半圆,1个 1个 而1个 1个 正好组成一个完整的圆,即共有4个完整的圆.
那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆,每个圆的面积相等,所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4:6=2:3.


14.在图12-14中,一个圆的圆心是0,半径r=9厘米,∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取3.14)

【分析与解】有AO=OB,所以△AOB 为等腰三角形,AO=OC,所以△AOC为等腰三角形.
∠ABO=∠1=15°,∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°.
∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°.
所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°,所以扇形BOC的面积为 (平方厘米).


15.图12-15是由正方形和半圆形组成的图形.其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一边的中点.已知正方形的边长为10,那么阴影部分的面积是多少?( 取3.14)

【分析与解】 过P做AD平行线,交AB于O点,P为半圆周的中点,所以0为AB中点.

有 .

阴影部分面积为

几何综合(二)


内容概述
勾股定理,多边形的内角和,两直线平行的判别准则,由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系.与上述知识相关的几何计算问题.各种具有相当难度的几何综合题.

典型问题

2.如图30-2,已知四边形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的边长为10厘米,那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

【分析与解】 方法一:因为CEFG的边长题中未给出,显然阴影部分的面积与其有关.设正方形CEFG的边长为x,有:


阴影部分的面积为:

(平方厘米).
方法二:连接FC,有FC平行与DB,则四边形BCFD为梯形.

有△DFB、△DBC共底DB,等高,所以这两个三角形的面积相等,显然,△DBC的面积 (平方厘米).
阴影部分△DFB的面积为50平方厘米.


4.如图30-4,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?

【分析与解】 为了方便所述,如下图所示,标上数字,
有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800
同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800,
∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800

则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800
而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600.
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=9000
6.长边和短边的比例是2:1的长方形称为基本长方形.考虑用短边互不相同的基本长方形拼图,要求任意两个基本长方形之间既没有重叠,也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形.例如,短边长分别是1,2,5,6,12的基本长方形能拼接成大长方形,具体案如图30-6所示.请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一.

【分析与解】 我们以几个不同的基本长方形作为分类依据,并按边长递增的方式一一列出.
第一类情况:以 为特征的有7组:

第二类情况:以 为特征的有6组:

第三类情况有如下三组:

共有16组解,它们是:
(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).
(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).
(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),
(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),
(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),
(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).

(1,2,2.4,4.8,5),
.

8.如图30-8,ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E,F分别为边AB,BC的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?


【分析与解】 如下图所示,连接EC,并在某些点处标上字母,
因为AE平行于DC,所以四边形AECD为梯形,有AE:DC=1:2,所以 ,
,且有 ,所以 ,而这两个三角形高相同,面积比为底的比,即EG:GD=1:2,同理FH:HD=1:2.
有 ,而 (平方厘米)
有EG:GD= ,
所以 (平方厘米) (平方厘米)
同理可得 (平方厘米), (平方厘米), (平方厘米)
又 =24-12=12(平方厘米)
所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米),所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米).


10.图30-10是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米.问:阴影部分的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 如下图所示,为了方便所叙,将某些点标上字母,并连接BG.

设△AEG的面积为x,显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x,则△ABF的面积为3x, 即 ,那么正方形内空白部分的面积为 . 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米).

12.如图30-12,若图中的圆和半圆都两两相切,两个小圆和三个半圆的半径长都是1.求阴影部分的面积.

【分析与解】 如下图所示,左图中的3个阴影部分面积相等,右图中的3个阴影部分的面积也相等.我们把左下图中的每一部分阴影称为A,右下图中的每一部分阴影称为B.
大半圆的面积为 小圆的面积

而小圆的面积为 ,则 ,
原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和,即为

14.如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度,若AB=4,BC=3,AC=5,求AD边扫过部分的面积.( 取3.14)

【分析与解】 如下图所示,

如下图所示,端点A扫过的轨迹为 ,端点D扫过轨迹为 ,而AD之间的点,扫过的轨迹在以A、D轨迹,AD, 所形成的封闭图形内,且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过,所以AD边扫过的图形为阴影部分.
显然有阴影部分面积为 ,而直角三角形 、ACD面积相等.
所以
即AD边扫过部分的面积为7.065平方厘米.

 

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