2017七年级下册数学第一单元知识点汇总(浙教版)

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2017七年级下册数学第一单元知识点汇总(浙教版)

认识三角形
一、三角形的基本概念:
1、三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
三角形ABC记作:△ABC。
2、相关概念:
三角形的边:组成三角形的三条线段。记作:AB、AC、BC。
三角形的内角:每两条边所组成的角(简称三角形的角)。
记作:∠A、∠B、∠C
3、三角形的分类:
二、三角形三边关系:
1、三角形任何两边的和大于第三边。
几何语言:若a、b、c为△ABC的三边,则a+b>c,a+c>b,b+c>a.
想一想:这个在实际解题中该怎样应用?
2、三边关系也可表述为:三角形任何两边的差都小于第三边。
三、三角形的内角和定理:
三角形三个内角的和等于1800。
几何语言:△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800。
四、三角形的三线:
问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线?
问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条,它们的交点在什么位置?
问题3、三角形的中线有什么应用?

三角形的角平分线和中线

从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线(bisector of angle).三角形三个角平分线的交点叫做内心.
角平分线的性质
1.角平分线上的一点到角的两边距离相等.  2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(逆运用)   三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段,叫三角形的角平分线.  三角形的角平分线不是角的平分线:一个是线段,一个是射线.  三角形角平分线有个有趣的性质:三角形ABC中角A的平分线为AD,则AB:AC=BD:CD.  三角形的三条角平分线相交于一点,该点为三角形的内心,且内心到三条边的距离相等.
3.角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.
中线
连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线.  中线的交点为重心,重心分中线2:1(顶点到重心:重心到对边中点).  中线:三角形中,连结一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线.  中线也是线段 ,一个三角形有3条中线.  在一个角为30°直角三角形中.60°角所对应的边上的中线为斜边的一半.  在一个三角形中,其一短边为斜边的一半,且这个三角形为30°的直角三角行,那么,60°角所对的边上的中线在此三角形中有三个等量.

三角形的高


1.已知面积和底边长求高
回想三角形的面积公式。三角形的面积公式是A=1/2bh。
A = 三角形的面积
b = 三角形底边长
h = 三角形底边的高
看一下你的三角形,确定哪些变量是已知的。 在本例中,你已经知道了面积,可以将面积的数值代入公式中的A。你也已知底边长的大小,可以将数值代入公式中的"'b'"。如果你不知道面积或底边长,那么你只能尝试其它的方法了。
无论三角形是如何绘制的,三角形的任意一边都可以作为底边。为了更形象地展示它,你可以想象把三角形进行旋转,直到已知边长位于底部。
例如,如果已知三角形面积是20,一边长为4,那么带入得A = 20,b = 4。
将数值代入公式A=1/2bh,然后进行计算。首先将底边长(b)乘以1/2,然后用面积(A)除以它。运算得到的结果应该就是三角形的高!
本例中:20 = 1/2(4)h
20 = 2h
10 = h
2.求等边三角形的高
回忆等边三角形的特征。等边三角形有三条相等大小的侧边,每个夹角都是60度。如果你将等边三角形分成两半,就会得到两个相同的直角三角形。
在本例中,我们使用边长为8的等边三角形。
回忆勾股定理。勾股定理将两个直角边描述为a和b、斜边为c:a2 + b2 = c2。我们可以使用这个定理求出等边三角形的高!
将等边三角形对半切开,并将数值代入变量a、b和c。斜边c等于原始的斜边长。直角边a的长度就变成了边长的1/2,直角边b就是所求的三角形的高。
以边长为8的等边三角形为例,其中c = 8,a = 4。
将数值代入勾股定理的公式,求出b2。边长c和a分别乘以自身求平方值。 然后用c2减去a2。
42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48
求出b2的开方值就得到三角形的高了!使用计算机的开根号计算求得Sqrt(2)。得到的结果就是等边三角形的高!
b = Sqrt (48) = 6.93
3.已知边长和角求高
确定你已知的变量。如果你知道三角形的一个夹角和一条边长,如果这个角是底边和已知侧边的夹角,或是已知三条边长,你就能求出三角形的高。我们将三角形的三边称之为a、b和c,三角为A、B和C。
如果你已知三角形的三边边长,可以使用海伦公式来求出三角形的高。
如果你已知两条边长和一个角,可以使用面积公式A = 1/2ab(sin C)来求解。
如果你已知三条边长也可以使用海伦公式。海伦公式分为两部分。首先,你必须求解出变量 s,它等于三角形周长的一半。你可以使用这个公式:s = (a+b+c)/2 求出。
例如,三角形三边长为 a = 4、b = 3和c = 5,故而s = (4+3+5)/2,也就是s = (12)/2。求出s = 6。
然后使用海伦公式的第二部分。面积 = sqr(s(s-a)(s-b)(s-c)。 再将面积代入含有高的面积公式:1/2bh (或 1/2ah 、1/2ch)。
计算求出高。在本例中,就是1/2(3)h = sqr(6(6-4)(6-3)(6-5)。化简得3/2h = sqr(6(2)(3)(1),也就是3/2h = sqr(36)。使用计算器计算开方,得到3/2h = 6。因此,使用边长b作为底边,得出,三角形的高等于4。
如果已知一条边长和一个夹角,使用两边和一角的面积公式来求解。用三角形面积公式1/2bh来代替上述公式中的面积。公式就变成了1/2bh = 1/2ab(sin C),化简得到h = a(sin C),这样可以消除一条未知边长的变量。
根据已知变量来求解等式。例如,已知a = 3、C = 40度,代入公式得“h = 3(sin 40)。使用计算器来计算等式,得到高h约等于1.928。

用尺规作三角形

作法:
1.画射线O′B′.
2.以O为圆心,以任意长为半径画弧.交OA于D点,交OB于C点; 3.以O′为圆心,以OC的长为半径画弧.交O′B′于点C′. 4.以点C′为圆心,以CD的长为半径画弧,交前弧于D′. 5.过D′作射线O′A′.
则∠A′O′B′就是所求作的角.
分析:假设这个三角形已作出,如图5-146.从图中可知,是两边夹角,所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条,然后以所作的线段为角的一边,它的一端点为角的顶点,作角.使这个角等于已知角,再在角的另一边截取已知线段的另一条,最后连结,组成三角形.

 

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