《二次函数抛物线的性质》知识点整理

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《二次函数抛物线的性质》知识点整理

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
  2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
  |a|越大,则抛物线的开口越小。
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
  事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
  抛物线与y轴交于(0,c)
  6.抛物线与x轴交点个数
  Δ= b^2;-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
  Δ= b^2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
  _______
  Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
  当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
  当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
  7.特殊值的形式
  ①当x=1时 y=a+b+c
  ②当x=-1时 y=a-b+c
  ③当x=2时 y=4a+2b+c
  ④当x=-2时 y=4a-2b+c
  8.定义域:R
  值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)
  奇偶性:偶函数
  周期性:无
  解析式:
  ①y=ax^2+bx+c[一般式]
  ⑴a≠0
  ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
  ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
  ⑷Δ=b^2-4ac,
  Δ>0,图象与x轴交于两点:
  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
  Δ=0,图象与x轴交于一点:
  (-b/2a,0);
  Δ<0,图象与x轴无交点;
  ②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
  此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;
  ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)
  对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小
  此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。

 

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