初一数学下册《 整式的运算》知识点归纳

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初一数学下册《 整式的运算》知识点归纳

一、整式
  单项式和多项式统称整式。
  a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
  b)单项式的系数是这个单项式的数字因数,作为单项式的系数,必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数,系数为1或-1。
  c)一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意:常数项的单项式次数为0)
  a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项。其中,不含字母的项叫做常数项。一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
  b)单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.
  a)整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
  b)括号前面是“-”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘。
  二、同底数幂的乘法
  (m,n都是整数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
  a)法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式;
  b) 指数是1时,不要误以为没有指数;
  c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加;
  d)当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为(其中m、n、p均为整数);
  e)公式还可以逆用:(m、n均为整数)
  a)幂的乘方法则:(m,n都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆。
 b)(m,n都为整数)
  c) 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底,如将(-a)3化成-a3

  d)底数有时形式不同,但可以化成相同。
  e) 要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零)。
  f) 积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=anbn (n为正整数)。
  g) 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
  五、同底数幂的除法
  a)同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0).
  b)在应用时需要注意以下几点:
  1) 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a0。
  2)任何不等于0的数的0次幂等于1,即a0=1(a≠0) ,如100=1 ,(-2.50=1),则00无意义。
  c)任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的,当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如, d)运算要注意运算顺序。
  六、整式的乘法
  单项式相乘,它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
  单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:
  a)积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;
  b)相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则;
  c)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
  d)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
  e)单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
  单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:
  a)单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
  b)运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
  c) 在混合运算时,要注意运算顺序。
  多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。
  多项式与多项式相乘时要注意以下几点:
  a)多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
  b)多项式相乘的结果应注意合并同类项;
  c)对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到。
  七.平方差公式
  两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,即。
  其结构特征是:
  a)公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
  b) 公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
  八、完全平方公式
  两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即;
  口诀:首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
  a)公式左边是二项式的完全平方;
  b)公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
  c)在运用完全平方公式时,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现这样的错误。
  九、整式的除法
  单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
  多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加,其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,所得商的项数与原多项式的项数相同,另外还要特别注意符号。

 

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