第九章不等式和不等式组

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第九章 不等式与不等式组

9.1.1不等式及其解集

一、不等式的概念
“>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号,不等号也可以写成“≤”、“≥”的形式。
用不等号连接起来的式子叫做不等式。
有些不等式不含未知数,有些不等式含有未知数。
类似于一元一次方程,含有一个未知数,并且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。
注意:分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式,这一点与一元一次方程类似。
二、不等式的解和解集
能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
注意:1.实心点表示包括这个点,空心点表示不包括这个点;
2、步骤:画数轴,定界点,走方向。、


9.1.2不等式的性质(1)

性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
即 如果a>b,那么a±c>b±c.
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
即 如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c).
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
即 如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c).

9.1.2 不等式的性质(2)

二、不等式的解法
解一元一次不等式的步骤:(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)系数化为1。


9.1.2 不等式的性质(3)
三角形中任意两边之差小于第三边。
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

第九章不等式复习一(9.1)

一、双基回顾
1、不等式:用等号(<、≤、>、≥)连接起来的式子,叫做不等式。
2、不等式的解和解集
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
注意:解集包括解,所有的解组成解集;解是一个数,解集是一个范围。
3、一元一次不等式:含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
4、不等式的性质:
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.即 如果a>b, 那么a±c>b±c.
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 即 如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c).
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 即 如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c).
注意:①不等式的性质与等式的性质有相通之处,又有不同之点;②不等式的性质是解不等式的依据。


三、练习提高
1、已知x的1/2与5的差不小于3,用不等式表示为 。
2、若不等式组的解集为 1≤x,则图中表示正确的是( )
A B

C D
3、设A 、B 、C 表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示,那么“A”、“ B ”、“C ”这三种物体按质量从大到小的顺序排应为( )
(A)A B C (B)C A B (C) B A C(D) B C A

4、如果x>y,下列各式中不正确的是[ ]
A、1/2+x>1/2+y B、-1/2+x>-1/2+y
C、1/2 x>1/2 y D、 -1/2 x>-1/2 y
5、当x 时,2-3x为非正数.
6、已知点M(-5+m,-3)在第三象限,则m的取值范围是 。
7、当x 时,式子3x 5的值大于5x + 3的值。
8、阳阳从家到学校的路程为2400米,他早晨8点离开家,要在8点30分到8点40分之间到学校,如果用x表示他的速度(单位:米/分),则x的取值范围为 。
9、已知x=3-2a是不等式1/5(x-3)<x-3/5的解,那么a的取值范围是 。
10、解下列不等式,并在数轴上表示解集。
(1)4x-1<-2x+3; (2) 3(x+1) >2
(3)1/2 x≥-2/3 x-2 (4) 1/2x-7<1/6(9x-1)
11、已知关于 的方程 的解是非正数,求 的取值范围.

能力提高
12、已知a是一个数,且x>y,则下列不等式中,正确的是( )
  A、ax>ay B、ax≤ay  C、a2x≥a2y  D、a2x≤a2y
13、不等式3(x-2)<x-1的自然数解是
14、不等式ax>a的解集为x<1,则 的取值范围是( )
A 、a >0 B、a≥0 C、a<0 D、a≤0
15、如果三个连续自然数的和不大于9,那么这样自然数共有组___________。
16、解下列不等式,并分别把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)3-2(x-1)>5x; (2)3/4-8x≤3-11/2x
(3)4/5-(2x-3)/2<0 (4)
16、k取什么值时,式子1/2(1-5k-1/3k2)+2/3(k2/4-k)的值,(1)小于0?(2)不小于0?
17、某学校把学生的笔试、实践能力两项成绩分别按60%,40%的比例计入学期总成绩,小明实践能力这一项成绩是81分,若想学期总成绩不低于90分,则笔试的成绩至少是多少分?
探索创新
18、已知方程组 , 为何值时, > ?
9.2 实际问题与一元一次不等式(一)

9.2 实际问题与一元一次不等式(二)

二、一元一次不等式组的概念和解集
把几个一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组。记作

类比方程组的解,我们把几个不等式组的解集的公共部分,叫做不等式组的解集。
解不等式就是求它的解集。
我们可以利用数轴确定不等式组的解集。
概括:大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小不用找。
注意:如果不等号中带有等号,空心圆就要变成实心圆。
9.3 一元一次不等式组(二)

第九章小结
一、知识结构

三、例题导引
例1 若不等式组 无解,求a的取值范围.
例2 已知方程组 的解是正数,求m的取值范围。
例3 某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,经了解甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。
(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元,1800元,请你选择最省钱的一种方案。

第九章复习二(9.2-9.3)

一、双基回顾
1、一元一次不等式组
几个一元一次不等式组成了一个一元一次不等式组。
2、一元一次不等式组的解
一元一次不等式组的各个不等式解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解.
〔1〕若a>b,请你指出下列不等式组的解集:
① ② ③ ④
3、解一元一次不等式组
(1)分别求每个不等式的解集;(2)利用数轴找出它们的公共部分,即一元一次不等式组的解集。
〔2〕解不等式组:

4、一元一次不等式(组)的应用
列一元一次不等式(组)解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题类似。
〔3〕若点M(2m+1,3-m)在第三象限,则m的取值范围是 。
二、例题导引
例1 若不等式组 的解集是-1<x<3,求ax+b≤0解。


例2小颖家每月水费都不少于15元,自来水公司的收费标准如下:若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1. 8元;若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收费2元,小颖家每月用水量至少是多少立方米?

例3某商场为了促销,开展对顾客赠送礼品活动,准备了若干件礼品送给顾客,在一次活动中,如果每人送5件,则还余8件,如果每人送7件,则最后一人还不足3件.求该次活动中获赠顾客人数及所准备的礼品数.

三、练习升华
夯实基础
1、在数轴上表示不等式组 的解,其中正确的是( )


2、不等式 的解集是 .
3、不等式组  的整数解是( )
  A、-1,0 B、-1,1 C、0,1 D、无解
4、班级组织有奖知识竞赛,小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件,已知笔记本每本2元,钢笔每支5元,那么小明最多能买钢笔 支。
5、解下列不等式:
(1) (2)
6、某校在一次参观活动中,把学生编为8个组,若每组比预定人数多1人,则参观人数超过200人,若每组比预定人数少2人,则参观人数不大于184人,试求预定每组学生的人数.

能力提高
7、已知一个等腰三角形的底边长5,腰长为x,则x的取值范围是 .
8、不等式组 的最小整数解是( )
A、0 B、1 C、2 D、-1
9、解下列不等式:
(1) (2)


10、已知不等式组 的解集是-1<x<1,求(a+1)(b-1)的值。


11、一个长方形的周长为60㎝,长不小于宽,那么它的长的取值范围是什么?

12、某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只20元,茶杯每只5元,该商店有两种优惠办法:(1)买一只茶壶送一只茶杯;(2)按总价的92%付款.现有一顾客需购买4只茶壶,茶杯若干只(不少于4只).请问:顾客买同样多的茶杯时,用哪一种优惠办法购买省钱?


13、乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费),达成或超过5km后,每增加1km,加价1.2元(不足1km部分按1km计).现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地,支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

14、若方程组 的解满足x<1且y>1,求k的整数解。

 

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