一元一次方程

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3.1.1从算式到方程
[学习目标]能根据题意用字母表示未知数,然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。[学习重点] 能根据题意用字母表示未知数,然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。
[学习难点]体会找等量关系,会用方程表示简单实际问题。
[学习过程]
问题1:根据条件列出式子
1、数的关系:
①比a大10的数: ;
②b的一半与7的差: ;
③ 的2倍减去10: ;
④某数 的30%与这个数的2倍的积: ;
⑤a的3倍与a的2的商: ;
2、基本图形关系:
①正方形的边长为a,则面积为 ,周长为 ;
②长方形的长为a,宽为b,则面积为 ,周长为 ;
③圆的半径为r,则周长为 ,面积为 ;
④三角形的三边长分别为a、b、c,则周长为 ,若长为a的边上的高为h,则面积为 ;
⑤正方体的棱长为a,则体积为 ,表面积为 ;
⑥长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则长方体的体积为 ,表面积为 ;
⑦圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积为 ,体积为 ;
⑧梯形的上、下底长分别为a、b,高为h,则面积为 。
3、其他关系:
①某商品原价为a元,降价20%后售价
为 元;
②某商品原价为a元,升价20%后售价
为 元;
③某商品原价为a元,打七五折后售价
为 元;
④某商品每件x元, 买a件共要花 元;
⑤汽车每小时行驶v千米,行驶t小时后的路
为 千米;
⑥某建筑队一天完成一件工程的 , 天完成这件工程的 ;
练习一根据条件列出式子
①比a小7的数: ;
②x的三分之一与9的和: ;
③ 的3倍减去 的倒数: ;
④某数 的一半与b的积: ;
⑤x与y的平方差: ;
问题2:根据条件列出等式:
①比a大5的数等于8: ;
②b的一半与7的差为 : ;
③ 的2倍比10大3: ;
④比a的3倍小2的数等于a与b的和: ;
⑤某数 的30%比它的2倍少34: ;
问题3:根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:
①用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?
解:设正方形的边长为 cm,列方程得: 。
②某校女生人数占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?
解:设这个学校学生数为 ,则女生数为 ,
男生数为 ,依题意得方程:

③练习本每本0.8元,小明拿了10元钱买了若干本,还找回4.4元。问:小明买了几本练习本?
解:设小明买了 本,列方程得: 。
④长方形的周长为24cm,长比宽多2cm,求长和宽分别是多少。
解:设 为 cm,则 为 cm ,
依题意得方程: 。
⑤A、B两地相距100千米,一辆小卡车从A地开往B地,3小时后离B地还有4千米,求小卡车的平均速度。
练习二根据条件列出式子或方程:
①比a小5的数: ;
②x的四分之一与8的和: ;
③ 的5倍减去 的绝对值: ;
④ 与 b的积的相反数: ;
⑤x与y的平方和: ;
⑥边长为x的正方形面积为25: ;
⑦长方形的长为a,宽比长小2,已知长方形的面积为20,得方程: ;
⑧某校学生总数为x,其中男生占全体学生的51%,比女生多12人,得方程: 。
练习三根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:
①用一根长为50cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?

②某校女生人数占全体学生数的44%,比男生少90人,这个学校有多少学生?


③练习本每本0.6元,小明拿了15元钱买了若干本,还找回4.2元。问:小明买了几本练习本?

小结:设未知数,找等量关系,用方程表示简单实际问题中的相等关系是本节课的重点。你学会了吗?
课后作业:1、用等式表示:
①比a小6的数等于80: ;
②x的一半与2的差为 : ;
③ 的2倍比30大6: ;
④比a的2倍大2的数等于a与b的差: ;
⑤ 的25%比它的5倍少3: ;
2、设未知数列出方程:
①用一根长为100cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?

②长方形的周长为40cm,长比宽多3cm,求长和宽分别是多少。

③某校女生人数占全体学生数的55%,比男生多50人,这个学校有多少学生?

④A、B两地相距200千米,一辆小车从A地开往B地,3小时后离B地还有20千米,求小卡车的平均速度。


3.1.1一元一次方程
[学习目标] 1、理解什么是一元一次方程。2、理解什么是方程的解及解方程,学会检验一个数值是不是方程的解的方法。3、进一步体会找等量关系,会用方程表示简单实际问题。4、体会数学与我们日常生活联系密切,培养学习数学的兴趣。
[学习重点] 1、一元一次方程的概念及方程的解;2、能验证一个数是否是一个方程的根。
[学习难点] 找等量关系列方程及估算法寻求方程的解.
[学习过程]
问题1:前面学过有关方程的一些知识,同学们能说出什么是方程吗?
答: 叫做方程。
问题2: 判断下列是不是方程,是打“√”,不是打“×”:
① ;( ) ②3+4=7;( )
③ ;( )④ ;( )
⑤ ;( ) ⑥ ;( )
问题3:根据下面实际问题中的数量关系,设未知数列出方程:
①用一根长为48cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长为多少?
解:设正方形的边长为 cm,列方程得: 。
②某校女生人数占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?
解:设这个学校学生数为 ,则女生数为 ,
男生数为 ,依题意得方程:

③练习本每本0.8元,小明拿了10元钱买了若干本,还找回4.4元。问:小明买了几本练习本?
解:设小明买了 本,列方程得: 。
小结:象上面问题3的①、②、③中列出的方程,它们都含有 个未知数(元),未知数的次数都是 ,这样的方程叫做一元一次方程。
(即方程的一边或两边含有未知数)
归纳:问题3的分析过程可以表示如下:

**分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。
练习一判断下列是不是一元一次方程,是打“√”,不是打“×”:
① =4;( ) ② ;( )
③ ; ( )④ ;( )
⑤ ; ( ) ⑥3+4 =7 ;( ) 问题4:如何求出使方程左右两边相等的未知数的值?
如方程 =4中, =?
方程 中的 呢?
请用小学所学过的逆运算尝试解决上面的问题。
**解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。
例 检验2和-3是否为方程 的解。
解:当x=2时,
左边= = ,
右边= = ,
∵左边 右边(填=或≠)
∴x=2 方程的解(填是或不是)
当x= 时,
左边= = ,
右边= = ,
∵左边 右边(填=或≠)
∴x=6 方程的解(填是或不是)
练习二
1、检验3和-1是否为方程 的解。

2、x=1是下列方程( )的解:
A) , B) ,
C ), D)
3、已知方程 是关于x的一元一次方程,则a= 。
课堂小结:1、这节课我们学习了什么内容?
2、用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么?
3、什么是方程的解?如何检验员一个数是否是方程的解?
课后作业:
1、x=2是下列方程( )的解:
A) , B) ,
C) ), D)
2、在下列方程中,是一元一次方程的是( )
A) B)
C) D)
3、在 2+1=3, 4+x=1, y2-2y=3x, x2-2x+1 中,一元一次方程有 ( )
A)1个 B)2个 C)3个 D)4个

4、检验2和 是否为方程 的解。

5、老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑,小明输入了700字,剩下的让小华输入,小华平均每分钟能输入50个字,问:小华要多少分钟才能完成?(请设未知数列出方程,并尝试求出方程的解)

3.1.2等式的性质
[学习目标]1、知道等式的性质;2、会用等式的性质解简单的一元一次方程。
[重点难点] 理解并掌握等式的性质。
[学习过程]
[练习一] 已知 ,请用等于号“=”或不等号“ ”填空:
① ;② ;
③ ;④ ;⑤ ;⑥ ;
⑦ ;⑧ 。
⑨ ;
⑩ 。
[等式的性质1]等式两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等。


[练习二]已知 ,请用等于号“=”或不等号“ ”填空:
① ;② ;
③ ;④ 。
[等式的性质2]等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。

[例]利用等式的性质解下列方程:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) 。
解:(1)两边减7,得

∴ 。
(2)两边 ,得

∴ 。

(3)两边 ,得

两边 ,得

∴ 。
(4)两边 ,得

两边 ,得

∴ 。
**请检验上面四小题中解出的 是否为原方程的解。
[练习三] 利用等式的性质解下列方程并检验:
(1) ;

[小结]1、等式有哪些性质?2、在用等式的性质解方程时要注意什么?
[课后作业]
A组
利用等式的性质解下列方程并检验:
(1) ;

B组
1、下列结论正确的是
A)x +3=1的解是x= 4
B)3-x = 5的解是x=2
C) 的解是
D) 的解是x = -1
2、方程 的解是 ,那么 等于( )A) -1 B) 1 C) 0 D) 2
3、已知 ,则      。
4、已知t=3是方程at-6= 18的解,则a=________
5、当y=_______时,y的2倍与3的差等于17。
6、代数式x+6的值与3互为相反数,则x的值为 。
3.2.1解一元一次方程(一)
----合并同类项与移项
[学习目标]1、让学生正确、熟练的掌握和应用解一元一次方程的三个基本步骤:“移项”与“合并同类项”、“将未知数的系数化为1”;2、自主探索、归纳解一元一次方程的一般步骤。
[重点难点]怎样将方程变形既是重点也是难点。
[学习过程]
[问题1]南村侨联中学三年来共购买计算机210台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量是去年的4倍,前年学校购买了多少台计算机?
解:设前年购买计算机x台,则去年购买 台,
今年购买 台,依题意得

要解这个方程,可以先把方程左边合并同类项,再用等式的性质解出x的值,解法如下:

**思考:上面解方程中“合并同类项”起了什么作用?
[例1] 解下列方程:
(1)9x—5 x =8 ; (2)4x-6x-x =-15;
(3)
解:(1)合并同类项得: =
两边 ,得

∴ ;
(2) 合并同类项得: =
x的系数化为1,得

(3)

[练习一] 解下列方程:
(1)6x —x = 4 ;
(2)-4x + 6x-0.5x =-0.3;

[思考]方程 的两边都含有 的项( )和常数项( ),怎样才能把它化成 ( 为常数)的形式呢?
解:利用等式的性质1,得

∴ 。
∴ 。
**像上面那样把等式一边的某项改变符号后移到另一边,叫做移项。
[问题]移项起到什么作用?

[例2] 解下列方程:
(1) ;


[练习二] 解下列方程:
(1) ; (2) ;

[小结]
1,本节学习的解一元一次方程,主要步骤有①移项,②合并同类项, ③将未知数的系数化为1,最后得到 的形式。
2,移项时要注意,移正变负,移负变正。
[课后作业]
A组:
1,下列方程的变形是否正确?为什么?
(1)由 ,得 ( )
(2)由 ,得 ( )
(3)由 得 ( )
(4)由 ,得 ( )
2、直接写出下列方程的解
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
(5) ( )
3、解下列方程:
(1) ; (2)


3.2.2解一元一次方程(二)
----去括号
[学习目标] 1、了解“去括号”是解方程的重要步骤。2、准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程。3、列一元一次方程解应用题时,关键是找出条件中的相等关系。
[重点难点] 重点:了解“去括号”是解方程的重要步骤。难点:括号前是“-”号的,去括号时,括号内的各项要改变符号,乘数与括号内多项式相乘,乘数应乘遍括号内的各项。
[学习过程]
[练习一] 1、叙述去括号法则,化简下列各式:
(1) = ;
(2) = ;
(3) = ;
(4) = ;
(5) = 。
**前几节学习的是不带括号的一类方程的解法,本节课是学习带有括号的方程的解法,如果去掉括号,就与前面的方程一样了,所以我们要先去括号。要去括号,就要根据去括号法则,及乘法分配律,特别是当括号前是“-”号,去括号时,各项都要变号,若括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号。
[问题1]你会解方程 吗?这个方程有什么特点?
解:去括号,得 ,
合并同类项,得 ,
系数化为1,得 。
[例1]解方程 。
注意:1、当括号前是“-”号,去括号时,各项都要变号。2、括号前有数字,则要乘遍括号内所有项,不能漏乘并注意符号。
解:去括号,得 ,
移项,得 ,
合并同类项,得 ,
系数化为1,得

[练习二]1、解方程:
(1)

2、列方程求解:
(1)当x取何值时,代数式 和 的值相等?


(2)、当y取何值时,代数式2(3y+4)的值比5(2y-7)的值大3?

[例2]设未知数列方程解应用题:
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度。
解:设船在静水中的平均速度为 千米/时,则顺流行驶的速度为 千米/时,逆流行驶的速度为 千米/时,
根据 相等,得方程

去括号,得
移项,得
合并同类项,得
系数化为1,得
答:船在静水中的平均速度为 千米/时。
[练习三]解方程:
(1)


[小结] 去括号时要注意什么?
[课后作业] A组 解方程:
(1)5(x+2)=2(5x-1)

(2)4x+3=2(x-1)+1

(3)(x+1)-2(x-1)=1-3x

(4)2(x-1)-(x+2)=3(4-x)
B组 列方程求解:
(1)当x取何值时,代数式4x-5与3x-6的值互为相反数?

(2)一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/时。顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求无风时飞机的速度和两城之间的航程.

C组: 已知 A= 3x+2 , B=4+2x
①当x取何值时, A=B;
②当x取何值时, A=B+1


3.2.3解一元一次方程(三)
----去分母
[学习目标] 会运用等式性质2正确去分母解一元一次方程。
[重点难点] 重点:去分母解方程。难点:去分母时,不含分母的项会漏乘公分母,及没有对分子加括号。
[学习过程]
[复习]1、解方程:
(1) ;(2)

2、求下列各数的最小公倍数:
(1)2,3,4
(2)3,6,8。
(3)3,4,18。
**在上面的复习题1中,可以保留分母,也可以去掉分母,得到整数系数,这样做比较简便。所以若方程中含有分母,则应先去掉分母,这样过程比较简便。
[例1] 解方程:
解:两边都乘以 ,去分母,得

去括号,得 ,
移项,得 ,
合并同类项,得 ,
系数化为1,得

[同步练习一] 解方程:


[例2] 解方程:
解:两边都乘以 ,去分母,得


去括号,得
移项, 得
合并同类项,得
系数化为1, 得
[同步练习二] 解方程:

[练习三] 解方程:(1) ;


[小结]1、含有分母的方程的解法。
2、解一元一次方程的一般步骤为:①分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤ 系数化为1 .
3、去分母时要注意什么?(两点)


[课后作业] A组 解方程:
(1) ;

B组
1、k取何值时,代数式 的值比 的值小1?

2、一件工作由一个人做要50小时完成,现在计划由一部分人先做5小时,再增加8人和他们一起做10小时,完成了这项工作,问:先安排多少人工作?

3.3.1实际问题与一元一次方程(一)
----路程问题

[学习目标] 1、理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤;2、会列出一元一次方程解简单的应用题。
[重点难点]正确找出等量关系列方程。
[学习过程]
[复习]1、解一元一次方程的简单步骤:


2、解一元一次方程的理论根据:

问题1:乙两人分别从相距10千米的两地同时同向出发,乙在前,甲在后,甲乙两人的时速分别为5千米和3千米,则甲经过多少小时后追上乙?
解:设甲经过 小时后追上乙,依题意得
答:
[练习一] 甲、 乙两人分别从相距12千米的两地同时同向出发,乙在前,甲在后,甲乙两人的时速分别为9千米和5千米,则甲经过多少小时后追上乙?

问题2:甲、乙骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行,5小时相遇.甲比乙每小时多骑2千米,求甲、乙的速度各是多少?
解:设甲的速度为 千米/时,则乙的速度
为 千米/时,依题意得

[练习二] 甲、乙骑自行车同时从相距45千米的两地相向而行,3小时相遇.甲比乙每小时多骑3千米,求甲、乙的速度各是多少?

问题3:一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的平均速度以及两个码头之间的航程。
解:设船在静水中的平均速度为 千米/时,依题意得


[练习三]一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了4小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.8小时。已知水流的速度是2千米/时,求船在静水中的平均速度以及两个码头之间的航程。

问题4:甲、乙两人登一座山,甲每分登高10米,并且先出发30分,乙每分登高15米,两人同时登上山顶。甲用多少时间登高?这座山有多高?


[练习四] 甲、乙两人登一座山,甲每分登高16米,并且先出发两分钟,乙每分登高比甲快4米,两人同时登上山顶。甲用多少时间登高?这座山有多高?


问题5:从甲地到乙地的长途汽车需行驶7个小时,开通高速公路后,路程近了30千米,而平均速度每小时增加了30千米,只需4个小时即可到达。求甲乙两地之间高速公路的路程。
解:设长途汽车的速度是每小时x千米,依题意得


小结:用一元一次方程解答实际问题,关键在于抓住问题中有关数量的相等关系,列出方程.求得方程的解后,经过检验,就可得到实际问题的解答.
这一过程也可以简单地表述为:

其中分析和抽象的过程通常包括:
(1)弄清题意和其中的数量关系,用字母表示适当的 ;
(2)找出问题所给出的数量相等关系,它反映了 与已知量之间的关系。
(3)对这个等量中涉及的量,列出所需的 ,根据等量关系得到方程。
[课后作业]1、一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/时,顺风飞行要2小时50分,逆风飞行要3小时,求无风时飞机的航速和两城之间的航程。

2、甲、乙两人从A、B两地相向而行,上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米。求A、B两地间的距离。

3、运动场的跑道一圈长400米。甲练习骑自行车,平均每分骑350米,乙练习跑步,平均每分跑250米,两人从同一处同时反向出发,经过多少时间首次相遇?又经过多少时间再次相遇?


4、一名通讯员,骑自行车在规定时间内把文件送到某处,如果他每小时骑行15公里,可以早到24分钟,如果他每小时骑行12公里,那么迟到15分钟,求通讯员到某处的距离。

 

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