2013年高考数学理科押题试卷(附答案)

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数学(理)试题

本试题卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(必考题和选考题两部分)。考生作答时,将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡),在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={ },下图中 阴影部分所表示的集合为
A.{0,1,2} B.{1,2}
C.{1}C.{ 0,1}
2.复数 ,在复平面上对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限C.第二象限 D.第四象限
3.若 ,则tan =
A . B. C. D.
4.已知命题 使得 命题 ,下列命题为真的是
A.p q B.( C. D.
5.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A. B. C. D.
6.已知△ABC中,C=45°,则sin2A=sin2B一 sinAsinB=
A. B. C. D.
7.如图是计算函数 的值的程序框图,在①、②、③处分别应填入的是
A.y=ln(一x),y=0,y=2x
B.y=0,y=2x,y=In(一x)
C.y=ln(一x),y=2z,y=0
D.y=0,y=ln(一x),y=2x
8.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足
(a-c)•(b一c)=0,则|c|的最大值是
A.1 B.
C.2D.
9.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6则该球的表面积为
A.16 B.24 C.32 D.48
10.在二项式( 的展开式中,各项系数之 和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中常数项的值为
A.18 B.12 C.9 D.6
11.已知函数 ,如果存在实数x1, 使得对任意的实数x,都有 成立,则 的最小值为
A. B. C. D.
12.过双曲线 的右顶点A作斜率为 一1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第2l题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22~24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空 题:本大题共4小题,每小题5分。
13.已知函数 的最大值是 。
14.已知圆 过坐标原点,则圆心C到直线 距离的最小值等于 .
15.已知 函数 上的奇函数,且 的图象关于直线x=1对称,当 时, .
16.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M.则
点M恰好取自阴影部分的概率是 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知数列{ }中
(I)设 ,求证数列{ }是等比数列;
(Ⅱ)求数列{ }的通项公式.


1 8.(本小题满分12分)
某校从参加某次知识竞赛的 同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图中的信息, 回答下列问题.


(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计本次考试的平均分;
(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,70)记0分,记[70,100]记1分,用X表示抽取结束后的总记分,求X的分布列和数学期望。

19.(本小题满分12分)
如图。在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中点。
(I)求证:A1B∥平面AMC1;
(II)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值;
(Ⅲ)试问:在棱A1B1上是否存在点N,使AN与MC1成角60°?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由。

20.(本小题满分12分)已知椭圆C的方程为 左、右焦点分别为F1、F2,焦距为4 ,点M是椭圆C上一点,满足
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)分别作直线PA,PB交椭圆C于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2, ,求证:直线AB过定点,并求出直线AB的斜率k的取值范围。

21.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求 的解析式及减区间;
(2)若 的最小值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲
在 ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是△ADF的外心。
(Ⅰ)证明:D,E,F,O四点共圆;
(Ⅱ)证明:O在∠DEF的平分线上.

23.(本小题满分10分)选修4~4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数 )在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
(I)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B.若点P 的坐标为(1,2),求 的最小值.


24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数 =
(I)求函数 的最小值m;
(II)若不等式 恒成立,求实数a的取值范围.

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号12 3456789101112
答案CCDA ABBDDCBC
二、填空题(每小题5分,共20分)
(13) (14) (15) (16)
三、解答题
(17)解:(Ⅰ)递推公式可化为 ,即 . …………3分
又 ,
所以数列 是首项为3,公比为 的等比数列. ……………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,所以 ……………7分


……………12分
(18)解:(Ⅰ)设分数在 内的频率为x,根据频率分布直方图,
则有 ,可得x=0.3.
所以频率分布直方图如图所示:
……………4分
(Ⅱ)平均 分为:
………………6分
(Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人,在[70,100]的有0.6×60=36人,
且X的可能取值是0,1,2.
则 , , .
所以X的分布列为:
X012
P

所以EX=0× +1× +2× = . ……………12分
(19)解:(Ⅰ)连接 交 于 ,连接 .在三角形 中,
是三角形 的中位线,
所以 ∥ ,
又因 平面 ,
所以 ∥平面 . ……………4分
(Ⅱ)(法一)设直线 与平面 所成角为 ,
点到平面 的距离为 ,不妨设 ,则 ,
因为 , ,
所以 . ……………5分
因为 ,
所以 , .
.

, . ……………8分
(法二)如图以 所在的直线为 轴, 以 所在
的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴,
以 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.
则 , , , , , , .设直线 与平面 所成角为 ,平面 的法向量为 .则有 , , ,
令 ,得 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 . ……………8分
(Ⅲ)假设直线 上存在 点 ,使 与 成角为 .
设 ,则 , .
设其夹角为 ,
所以,

, 或 (舍去),
故 .所以在棱 上存在棱 的中点 ,使 与 成角 . 12分
(20)解:(Ⅰ)在 中,设 , ,由余弦定理得 ,
即 ,即 ,得 .
又因为 , , ,
又因为 所以 ,
所以所求椭圆的方程为 . ……………5分
(Ⅱ)显然直线 的斜率 存在,设直线方程为 , ,
由 得 ,即 ,
, ,
由 得, ,又 , ,
则 , ,

那么 ,
则直线 过定点 . ……………10分
因为 , ,
, ,
, ,
,所以 或 . ……………12分
(21)解:(Ⅰ)令 得 , ,所以 ,
, ……………3分

由 得 , 的减区间为( ). ……5分
(Ⅱ)由题意 ,

设 , . ………… …7分
当 时, 恒成立, 无最大值;
当 时,由 得 , 得 .
在 上为增函数,在 上为减函数.
, ,
, ……………10分
设 , ,
由 得 , 得 ,
,所以 的最小值为 . ……………12分
(22)证明:(Ⅰ) 如图,∠DEF=180°-(180°-2∠B)-(180°-2∠C)=180°-2∠A.
因此∠A是锐角,
从而 的外心与顶点A在DF的同侧,
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF.
因此D,E,F,O四点共圆. ……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO=∠DFO=∠FDO =∠FEO,
即O在∠DEF的平分线上. ……………10分
(23)解:(Ⅰ)由 得 ,化为直角坐标方程为 ,
即 . ……………4分
(Ⅱ)将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得 .
由 ,故可设 是上述方程的两根,
所以 又直线 过点 ,故结合t的几何意义得
=

所以 的最小值为 ……………10分
(24)解:(Ⅰ)
显然,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以函数 的最小值 ……………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 恒成立,
由于 ,
等号当且仅当 时成立,故 ,解之得 或
所以实数 的取值范围为 或 ……………10分

 

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