高斯求和知识点大全,离天才更近一点

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德国著名数学家高斯从小就显现出了他在数学方面的天赋,高斯求和的故事是我们从小就听过的一个故事,今天就来总结小学阶段高斯求和的相关知识点,帮助同学们在小学阶段塑造一定的数学思维,更好的学习数学。
高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;
(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;
(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
例11+2+3+…+1999=?
分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。
注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211+12+13+…+31=?
分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。
原式=(11+31)×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到
项数=(末项-首项)÷公差+1,
末项=首项+公差×(项数-1)。
例33+7+11+…+99=?
分析与解:3,7,11,…,99是公差为4的等差数列,
项数=(99-3)÷4+1=25,
原式=(3+99)×25÷2=1275。
例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
解:末项=25+3×(40-1)=142,
和=(25+142)×40÷2=3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
练习:1、计算下面各题。
(1)3+10+17+24+…+101
(2)17+19+21+…+39
2、求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和
4、已知等差数列2,5,8,11,14,…
(1)这个数列的第13项是多少?
(2)47是其中的第几项?
5、已知等差数列的第1项是12,第6项是27,求公差。
6、如果一个数列的第4项为21,第6项为33,求它的第9项。
7、求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
8、已知等差数列6,13,20,27…,问这个数列前30项的和是多少?
9、①7+10+13+…+37+40
②2000-3-6-9-…-51-54
10、一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
答案:
1、(1)780 (2)336
2、1127
3、2565
4、(1)38 (2)16
5、51
6、1127
7、3225
8、(1)282
(2)1487
9、1254


 

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